Serie de Taylor y serie de [Maclaurin]
What is it ?
In mathematics, the Taylor series of a function is an infinite sum of terms that are expressed in terms of the function's derivatives at a single point. For most common functions, the function and the sum of its Taylor series are equal near this point.texty
Serie de Taylor para dos variables
La serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (Real o compleja)
Resignificacion de la serie de Taylor en su aspecto funcional
y
Expansion en serie de Taylor
Serie de Taylor (Fuga de cerebros)
Si c=10, esto se conoce como la serie de Maclaurin de f
Serie de Maclaurin y Taylor
Una serie de Taylor es aproximar una función cualquiera (f(x)) por un polinomio :(la serie)
Para ciertas funciones, siempre y cuando x esté dentro de un cierto intervalo, llamado intervalo de convergencia de la serie.
La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento matemático mas importante para comprender, manejar y formular métodos numéricos que se basan en la aproximación de funciones por medios de polinomios.
Quien fue Taylor?
fue un ingeniero mecánico y economista estadounidense, promotor de la organización científica del trabajo y es considerado el padre de la Administración Científica.
En matemáticas una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios, llamados términos de la serie, dicha suma se puede calcular a partir de derivadas de la función para un determinado valor o punto.
Taylor Frederic fue un ingeniero mecánico y economista estadounidense
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Serie funcional que surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
Proporciona una forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro.
Se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación generando un resultado cada vez más exacto.
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De nición de base (hilbertiana
Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización permite que nociones y técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión dos y tres se extiendan a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita. Ejemplos de tales nociones y técnicas son la de ángulo entre vectores, ortogonalidad de vectores, el teorema de Pitágoras, proyección ortogonal
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De nición de base (hilbertiana) en L
Más formalmente, se define como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interior. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto de series de Fourier, ciertas transformaciones lineales tales como la transformación de Fourier, y son de importancia crucial en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
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(a, b) ([8]).
La serie de Taylor se puede utilizar para obtener las sumas parciales o los polinomios de Taylor mediante el uso de técnicas de aproximación en toda la función. Otro uso de la serie de Taylor es la diferenciación e integración de las series de potencia que se pueden hacer con cada término. La serie de Taylor también puede proporcionar un análisis complejo mediante la integración de la función analítica con una función holomórfica en un plano complejo. También se puede utilizar para obtener y calcular valores numéricamente en una serie truncada.
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Una serie de taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguien cambio de variable:x-a=x
La serie de Taylor es de mucha importancia para el cálculo efectivo de las funciones continuas y dónde se destaca el atender aspectos propios de convergencia, es por ello que la serie de Taylor es un teorema de continuidad, teorema de dos valores medios y los criterios de convergencia de series numericas considerada como una cierta matemática avanzada cuyo objetivo es profundizar en los procesos de convergencia de las series infinitas, acompañado de sus métodos algebraicos.
Las funciones de serie de Taylor
¿Como se calculan los coeficientes de las potencias de (x-a)?
Llamemos c(n) al coeficiente de (x-a)n. ¿Cuál es c(0), c(1), c(2), etc?
Veamos:
Queremos representar a la función f(x) mediante la serie infinita
c(0) + c(1)(x - a) + c(2)(x - a)2 + c(3)(x - a)3 +... + c(n)(x - a)n +...
Entonces:
f (x)= c(0) + c(1)(x - a) + c(2)(x - a)2 + c(3)(x - a)3 +...+ c(n)(x - a)n +...
COLABORADORES:
ESMERALDA PEREZ AGUILAR
MARIA FATIMA CONCHA CRUZ
MARIA GUADALUPE MORALES OLIVARES
NAYELI AUSTRIA AVILA
DANIEL TELLEZ BARRIENTOS
ADAMARY PATRICIA CASTILLO LOPEZ
DAVID GASCA CALVILLO
ALVARO OLMOS CORTES
RODRIGO HUERTA ESTRADA
BRENDA PAOLA PASTOR MEZA
YOVANY SÁNCHEZ TÉLLEZ
LIZBETH GOMEZ RAMIREZ
VIVIANA RAMIREZ GUTIERREZ
JUAN CARLOS SANCHEZ HERRERA
MIGUEL ANGEL SANCHEZ VAZQUEZ
VALENTINA GARCÍA GARCÍA
AIDA SARAI CONTRERAS AXOL
YADIRA NUÑEZ SOLANO
MIGUEL ANGEL GUTIERREZ GUTIERREZ
DANIEL LAGOS CERVANTES
CECILIA URBANO CENTENO
ANGELES JUSTO ROBLES
ALONRA MARTINEZ REYES
JIMENA CRUZ GONZALEZ
GABRIELA RODRIGUEZ GARCIA
ALMA LILIA GUTIERREZ SANTOS
VALENTINA GARCIA GARCIA
JOSE MARCELINO GARCIA C
Si los polígonos contuvieran una infinidad de términos ¿sería idénticos a la función en todo su dominio?
¿Podríamos representar a una función mediante una seri infinita de potencias de x o de (x-a)
La respuesta es afirmativa para ciertos funciones siempre y cuando x este dentro de un intervalo llamado intervalo de conveniencias de la serie
(Kilmodan, 1698 - Edimburgo, 1746) Matemático británico. Ingresó en la universidad a la edad de once años, fue profesor en la de Aberdeen a los diecinueve y posteriormente en la de Edimburgo. Expuso un original método de generación de las cónicas en su obra Geometría orgánica (1720) y sentó las bases para una fundamentación lógica del cálculo infinitesimal en el Tratado de las fluxiones (1742). En su Tratado de álgebra (1748) aplicó el método de los determinantes a la resolución de ecuaciones con cuatro incógnitas.
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Colín Maclaurin
Representación de Series de Taylor
¿Cómo Funciona : la serie de Taylor?
T(x) , de una función f(x) en x=x0 es la serie de potencias:
T(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n
=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+⋯
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SERIE DE TAYLOR
En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle (x-a)^{n}} llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto
a
a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero,
a
=
0
a=0, se le denomina también serie de Maclaurin.
Esta tiene tres ventajas importantes
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
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La derivación e integración esta serie puede realizar término a término
Para que sirve:
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Representación de Series de Maclaurin
M(x) , de una función f(x) es la serie de Taylor para x0=0 :
M(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!xn
=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+⋯
se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando.
La siguiente:
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proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Para poder entender este tema se necesita saber de limites de una función, derivaciones, aritmética de funciones y funciones exponenciales y logarítmicas.
Pará encontrar una función polinómica P se aproxima a otra función F, se empiece por elegir un número C en el dominio de F en el que P y F tengan el mismo valor: p(c) =f(c).
La serie de taylor es una serie funcional la cual surge de la ecuacion en la que se puede encontrar una aproximacion a una funcion.
:
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Algunos ejemplos son
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Lo que pretende conseguirse con una serie de taylor es aproximal una funcion cualquiera por un polinomio.
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Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
es posible calcular la optimidad de la aproximación.
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En el siguiente ejemplo utilizaremos la fórmula anterior para los coeficientes de la serie de Taylor (o de Maclaurin si a=0).
La serie de Taylor fue llamada así en honor al matemático Britanico Brook Taylor, quien dio grandes aportaciones como lo es con las funciones trigonométricas
Su definición es que siendo una serie funcional surge una ecuación en la cual se da un resultado aproximada a la ecuacion..
NOTA: Entre más operaciones se realicen más aproximado será el resultado
Aplicación de la serie de Taylor
Aplicación de L'Hopital
Uso de series Fourier en el proceso de digital señales
Estimación de integrales
Determinación de divergencia y convergencia de series
Cómo así también se muestran la utilización de las funciones trigonométricas en estás series dentro del tema
Serie de Taylor
Geométrico numérico relacionado con la estrategia de diferencias finitas de variables, consiste en aproximar y estimar numéricamente un valor especifico a partir de determinar geométricamente incrementos y decrementos entre variables.
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TEOREMA: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es, si.
:
Uso de las series de Taylor y Maclaurin en la aproximación del valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
La Serie de Taylor es un teorema de continuidad, teorema de dos valores medios y los criterios de convergencia de series numéricas. Considerada como una cierta matemática avanzada cuyo objetivo es profundizar en los procesos de convergencia de las series infinitas, acompañado de sus métodos algebraicos.
SOBRE EL ORIGEN
Los problemas que motivaron el nacimiento de las series de Taylor y las series de Fourier son de naturaleza distinta y se plantearon en tiempos diferentes.
Las series de Taylor surgieron, aproximadamente, en 1715 en relación con diversos problemas no resueltos hasta entonces directamente relacionados con el nacimiento del Cálculo Diferencial e Integral
y de gran aplicación a la Ciencia como podían ser:
Problemas de optimización.
Encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva dada en
un punto.
Calcular la longitud de ciertas curvas, áreas limitadas por guras curvas, etc.
Procedimientos numéricos de aproximación de funciones trascendentes.
Cálculo de límites indeterminados.
Las series de Fourier surgieron en relación con diferentes problemas relacionados con las ecuaciones de la física matemática como el análisis del conocido problema de la cuerda vibrante alrededor de 1750.
El problema de la cuerda vibrante fue muy estudiado enel siglo XVIII por D'Alembert, Euler, Daniel Bernouilli y, también,por Taylor.
En 1750 Bernouilli, basándose en el hecho intuitivo deque el sonido emitido por una cuerda vibrante es, en general, la composición de varios armónicos, expresó que la solución general expresarse como superposición (en general in nita) de ondas sencillas.
Estas ideas fueron perfeccionadas por Fourier en 1807una teoría matemática de las leyes de la propagación del calor a principios del siglo XIX.
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