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La similitudine - Coggle Diagram
La similitudine
Triangoli simili (angoli rispettivamente congr. e lati opposti agli angoli sono prop.)
Rapporto di similitudine: k costante= A'B'/AB=B'C'/BC=A'C'=AC
k
Rapporto tra i perimetri
Rapporto tra Aree (k^2)
Rapporto tra altezze, mediane o bisettrici corrispondenti
Criteri di similitudine
Secondo: due lati proporzionali e angolo compreso congruente
Terzo: tutti i lati proporzionali
Primo: due angoli rispettivamente congruenti
Teoremi di Euclide
In un tr. rett. ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa
In un tr. rett. l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa
Relazioni con congruenza e equivalenza
Due triangoli simili possono non essere nè equiestesi nè congruenti
Due triangoli equiestesi possono non essere nè congruenti nè simili
Due triangoli congruenti sono sia equiestesi sia simili
L'equivalenza
Somme e differenze di superfici equivalenti sono equivalenti
Se due superfici sono equiscomponibili, sono equivalenti
è una Relazione d'equivalenza
Teoremi di equivalenza
Dato un poligono è possibile costruire uno equivalente con un lato in meno del primo
Dato un parallelogramma, è possibile costruire un rettangolo equivalente con base e altezza congruenti a quelle del parallelog.
Parallelogrammi con base e altezza relativa congruenti sono equivalenti
Dato un triangolo, si può costruire un rettangolo equivalente con base uguale a quella del triangolo e altezza uguale a metà di quella relativa alla base scelta nel triangolo
Triangoli con base e altezza relativa congruenti sono equivalenti
Dato un poligono circoscritto a una circonferenza, si può costruire un triangolo equivalente con base uguale al perimetro e altezza uguale all'apotema.
Dato un rombo, si può costruire un rettangolo equivalente al doppio di esso con i lati congruenti alle diagonali
Dato un trapezio, si può costruire un triangolo equivalente con base congruente alla somma delle basi del trapezio e altezza congruente a quella del trapezio
Due superfici con la medesima estensione sono dette equivalenti
Due triangoli congruenti sono simili ed equiestesi
La congruenza
Concetto primitivo: figure sovrapponibili
Primo assioma: la congruenza è una relazione d'equivalenza
Secondo assioma: tutti i punti, le rette, i piani e i semipiani sono congruenti fra di loro
Nei triangoli:
Primo criterio: due triangoli con due lati e l'angolo compreso ord. congruenti sono congruenti
Secondo crit.: due triangoli con un lato e i due angoli adiacenti ord. congruenti sono congruenti
Terzo crit.: due triangoli con i lati ordinatamente congruenti sono congruenti
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti lati e angoli
Proprietà dei triangoli isosceli
Gli angoli alla base sono congruenti
La bisettrice dell'angolo al vertice è anche mediana e altezza della base
Se un triangolo ha due angoli congruenti, è isoscele
Argomenti non approfonditi
Per i poligoni essi devono avere lo stesso numero di lati e vale lo stesso criterio generale dei triangoli
Angoli rispettivamente congruenti e lati opposti agli angoli congr. proporzionali
Simili
Angoli rispettivamente congruenti ma lati opposti agli angoli congruenti NON proporzionali
NON simili
Angoli NON congruenti
NON simili
Similitudine e circonferenza
Segmenti in proporzione se AB/CD=EF/GH <=> AB:=EF:GH
Teorema di Talete
Dato un fascio di rette // tagliate da trsversali, AB/CD=A'B'/C'D'
Conseguenze del teorema
In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri 2 lati
Se una retta // a un lato del triangolo interseca gli altri 2 lati, allora li divide in segmenti proporzionali
(Inverso) Se una retta interseca 2 lati di un triangolo in modo che i segmenti definiti sui due lati sono proporzionali, allora la retta è // al terzo lato
