Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
VEKTOR image - Coggle Diagram
VEKTOR
Operasi vektor
Penguragan
Jika ū = (a b) dan v = (c d), maka ū - v = (a-c b-d)
Perkalian
Sifat Perkalian
m(ū ± v) = mū ± mv
(m ± n)ū = mū ± nū
1ū = ū
(mn)ū = m(nū)
Dimensi Dua
jika ū = (x y), maka mū = m . (x y)
Dimensi Tiga
jika ū = (x y z), maka mū = m . (x y z)
Penjumlahan
Sifat Penjumlahan
Untuk setiap vektor ū terdapat vektor v sehingga ū + v = 0
ū + v = v + ū
(ū + v) + w = ū + (v + w)
Terdapat vektor nol sehingga ū + 0 = ū
Jika ū = (a b) dan v = (c d), maka ū + v = (a+c b+d)
Perbandingan
atau
Pembagian
Titik P (xp yp zp) membagi AB dengan koordinat titik A (x1 y1 z1) dan titik B (x2 y2 z2), serta perbandingan AP : PB = m : n
Xp = mx2 + nx1/ m+n adapun Yp = my2 + ny1/ m+n adapun Zp = mz2+nz1/m+n
Jika P merupakan titik tengah AB, maka
Xp = x2+x1/2 adapun Yp = y2+y1/2 adapun Zp = z2+z1/2
Titik P (xp yp) membagi AB dengan koordinat titik A (x1 y1) dan titik B (x2 y2), serta perbandingan AP : PB = m : n
Xp = mx2 + nx1/ m+n adapun Yp = my2 + ny1/ m+n
Jika P merupakan titik tengah AB, maka
Xp = x2+x1/2 adapun Yp = y2+y1/2
Jika P membagi AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, vektor posisi titik P
Jika p merupakan titik tengah AB
p = a+b/2
p = mb+na/m+n
Perkalian Skalar Dua Vektor
Besar Sudut Antara Dua Vektor
cosθ = a.b/|a||b|
cos θ = a1b1+a2b2+a3b3/√(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+c3²)
Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus
Jika a dan b adalah vektor tidak 0 dan θ sudut antar dua vektor
θ tumpul jika dan hanya jika ā . b < 0
θ = π/2(siku siku) jika dan hanya jika ā . b = 0
θ lancip jika dan hanya jika ā . b > 0
Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Jika θ adalah besar sudut antara vektor a dan b, maka
a . b = (a1 a2 a3) . (b1 b2 b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
a . b = |a||b|cosθ
Sifat
m.(ā+b) = (mā) . b = ā . (mb) ; m bilangan real
ā . ā = |ā|² sehingga |ā| = (ā . ā)^½
ā.(b+c) = ā.b + ā.c (distributif)
ā . ā > 0 jika ā tidak sama dengan 0 dan ā . ā = 0 jika ā = 0
ā . b = b . ā (komutatif)
Proyeksi Vektor
Proyeksi Vektor Ortogonal
Proyeksi Vektor Ortogonal ā pada b = ā . b /|b|² . b
Proyeksi Vektor Ortogonal b pada ā = ā . b /|ā|² . ā
Proyeksi Skalar Ortogonal
Proyeksi Skalar Ortogonal ā pada b = ā . b/|b|
Proyeksi Skalar Ortogonal b pada ā = ā . b/|a|
Panjang Vektor
Menyatakan Vektor Menggunakan Vektor Satuan Pada Sumbu Koordinat
Bidang Koordinat R2
v = (x y) = xî + yj
Bidang Koordinat R3
v = (x y z) = xî + yj + zk
Panjang
Jika titik P(x,y) dan O(0,0) di R2, maka
Panjang vektor OP = |OP|= √(x²+y²)
Jika titik P(x,y,z) dan O(0,0,0) di R2, maka
Panjang vektor OP = |OP|= √(x²+y²+z²)
Jarak Dua Titik
Jika P (X1,Y1,Z1), Q (X2,Y2,Z2), dan O (0,0,0), Maka Vektor PQ=?
PQ = OQ - OP= (X2 Y2 Z2) - (X1 Y1 Z1) = (X2-X1 Y2-Y1 Z2-Z1)
|PQ| = √(X2-X1)² + (Y2-Y1)² + (Z2-Z1)²
Vektor Satuan
ê v = v/|v|
Jika v = (a b c), maka êv = 1/√(a²+b²+c²)
Jika v = (a b), maka êv = 1/√(a²+b²)
Konsep Vektor
Vektor Posisi
Menyatakan posisi suatu titik terhadap titik pangkal koordinat
Pengertian
Besaran yang memiliki besar(nilai) dan arah
Vektor di R3
Dinyatakan 3 bilangan yang ditulis secara vertikal atau horizontal
Arah bilangan pertama yaitu depan/belakang
Arah bilangan kedua yaitu kanan/kiri
Arah bilangan ketiga yaitu atas/bawah
Vektor di R2
Pasangan Bilangan yang dituliskan secara vertikal atau horizontal
Arah bilangan pertama yaitu ke kanan(positif) dan kiri(negatif
Arah bilangan kedua yaitu ke atas(positif) dan bawah(negatif)
Kesamaan Vektor
Dua vektor dikatakan sama bila memiliki panjang dan arah yang sama
