VEKTOR 
Operasi vektor
Perkalian Skalar Dua Vektor
Proyeksi Vektor
Panjang Vektor
Konsep Vektor
click to edit
click to edit
Menyatakan Vektor Menggunakan Vektor Satuan Pada Sumbu Koordinat
Panjang
Jarak Dua Titik
Vektor Satuan
Jika P (X1,Y1,Z1), Q (X2,Y2,Z2), dan O (0,0,0), Maka Vektor PQ=?
PQ = OQ - OP= (X2 Y2 Z2) - (X1 Y1 Z1) = (X2-X1 Y2-Y1 Z2-Z1)
|PQ| = √(X2-X1)² + (Y2-Y1)² + (Z2-Z1)²
Bidang Koordinat R2
Bidang Koordinat R3
v = (x y) = xî + yj
v = (x y z) = xî + yj + zk
Jika titik P(x,y) dan O(0,0) di R2, maka
Jika titik P(x,y,z) dan O(0,0,0) di R2, maka
Panjang vektor OP = |OP|= √(x²+y²)
Panjang vektor OP = |OP|= √(x²+y²+z²)
ê v = v/|v|
Jika v = (a b c), maka êv = 1/√(a²+b²+c²)
Jika v = (a b), maka êv = 1/√(a²+b²)
Vektor Posisi
Pengertian
Vektor di R3
Dinyatakan 3 bilangan yang ditulis secara vertikal atau horizontal
Vektor di R2
Pasangan Bilangan yang dituliskan secara vertikal atau horizontal
Kesamaan Vektor
Dua vektor dikatakan sama bila memiliki panjang dan arah yang sama
Arah bilangan pertama yaitu depan/belakang
Arah bilangan kedua yaitu kanan/kiri
Arah bilangan ketiga yaitu atas/bawah
Menyatakan posisi suatu titik terhadap titik pangkal koordinat
Besaran yang memiliki besar(nilai) dan arah
Arah bilangan pertama yaitu ke kanan(positif) dan kiri(negatif
Arah bilangan kedua yaitu ke atas(positif) dan bawah(negatif)
Proyeksi Vektor Ortogonal
Proyeksi Skalar Ortogonal
Proyeksi Skalar Ortogonal ā pada b = ā . b/|b|
Proyeksi Skalar Ortogonal b pada ā = ā . b/|a|
Proyeksi Vektor Ortogonal ā pada b = ā . b /|b|² . b
Proyeksi Vektor Ortogonal b pada ā = ā . b /|ā|² . ā
click to edit
Besar Sudut Antara Dua Vektor
Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus
Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Sifat
Jika θ adalah besar sudut antara vektor a dan b, maka
a . b = (a1 a2 a3) . (b1 b2 b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
a . b = |a||b|cosθ
cosθ = a.b/|a||b|
cos θ = a1b1+a2b2+a3b3/√(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+c3²)
Jika a dan b adalah vektor tidak 0 dan θ sudut antar dua vektor
θ tumpul jika dan hanya jika ā . b < 0
θ = π/2(siku siku) jika dan hanya jika ā . b = 0
θ lancip jika dan hanya jika ā . b > 0
m.(ā+b) = (mā) . b = ā . (mb) ; m bilangan real
ā . ā = |ā|² sehingga |ā| = (ā . ā)^½
ā.(b+c) = ā.b + ā.c (distributif)
ā . ā > 0 jika ā tidak sama dengan 0 dan ā . ā = 0 jika ā = 0
ā . b = b . ā (komutatif)
Penguragan
Perkalian
Penjumlahan
Perbandingan
atau
Pembagian
Sifat Penjumlahan
Jika ū = (a b) dan v = (c d), maka ū + v = (a+c b+d)
Untuk setiap vektor ū terdapat vektor v sehingga ū + v = 0
ū + v = v + ū
(ū + v) + w = ū + (v + w)
Terdapat vektor nol sehingga ū + 0 = ū
Jika ū = (a b) dan v = (c d), maka ū - v = (a-c b-d)
Sifat Perkalian
m(ū ± v) = mū ± mv
Dimensi Dua
Dimensi Tiga
(m ± n)ū = mū ± nū
1ū = ū
(mn)ū = m(nū)
jika ū = (x y), maka mū = m . (x y)
jika ū = (x y z), maka mū = m . (x y z)
Titik P (xp yp zp) membagi AB dengan koordinat titik A (x1 y1 z1) dan titik B (x2 y2 z2), serta perbandingan AP : PB = m : n
Titik P (xp yp) membagi AB dengan koordinat titik A (x1 y1) dan titik B (x2 y2), serta perbandingan AP : PB = m : n
Jika P membagi AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, vektor posisi titik P
Jika p merupakan titik tengah AB
Xp = mx2 + nx1/ m+n adapun Yp = my2 + ny1/ m+n adapun Zp = mz2+nz1/m+n
Xp = mx2 + nx1/ m+n adapun Yp = my2 + ny1/ m+n
p = mb+na/m+n
p = a+b/2
Jika P merupakan titik tengah AB, maka
Jika P merupakan titik tengah AB, maka
Xp = x2+x1/2 adapun Yp = y2+y1/2 adapun Zp = z2+z1/2
Xp = x2+x1/2 adapun Yp = y2+y1/2