Vektor Matematika

Konsep Vektor

Operasi Vektor

Panjang Vektor

Perkalian Skalar Dua Vektor

Proyeksi Vektor

1.Pengertian

  1. Vektor di R2

3.Vektor di R3

Pasangan Bilangan yang dituliskan secara vertikal atau horizontal.

Arah bilangan pertama yaitu ke kanan(positif) dan kiri(negatif

Arah bilangan kedua yaitu ke atas(positif) dan bawah(negatif)

Besaran yang memiliki besar(nilai) dan arah

Dinyatakan 3 bilangan yang ditulis secara vertikal atau horizontal

Arah bilangan pertama yaitu depan/belakang

Arah bilangan kedua yaitu kanan/kiri

Arah bilangan ketiga yaitu atas/bawah

  1. Vektor Posisi

Menyatakan posisi suatu titik terhadap titik pangkal koordinat

  1. Kesamaan Vektor

Dua vektor dikatakan sama bila memiliki panjang dan arah yang sama

  1. Penjumlahan

Jika ū = (a b) dan v = (c d), maka ū + v = (a+c b+d)

Sifat penjumlahan

ū + v = v + ū

(ū + v) + w = ū + (v + w)

Terdapat vektor nol sehingga ū + 0 = ū

Untuk setiap vektor ū terdapat vektor v sehingga ū + v = 0

  1. Pengurangan

Jika ū = (a b) dan v = (c d), maka ū - v = (a-c b-d)

  1. Perkalian

Dimensi dua

Dimensi tiga

Sifat

jika ū = (x y), maka mū = m . (x y)

jika ū = (x y z), maka mū = m . (x y z)

(m ± n)ū = mū ± nū

(mn)ū = m(nū)

m(ū ± v) = mū ± mv

1ū = ū

  1. Perbandingan

a.Jika P membagi AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, vektor posisi titik P

p = mb+na/m+n

b. Titik P (xp yp) membagi AB dengan koordinat titik A (x1 y1) dan titik B (x2 y2), serta perbandingan AP : PB = m : n

Jika p merupakan titik tengah AB

p = a+b/2

Xp = mx2 + nx1/ m+n adapun Yp = my2 + ny1/ m+n

Jika P merupakan titik tengah AB, maka

Xp = x2+x1/2 adapun Yp = y2+y1/2

c.Titik P (xp yp zp) membagi AB dengan koordinat titik A (x1 y1 z1) dan titik B (x2 y2 z2), serta perbandingan AP : PB = m : n

Xp = mx2 + nx1/ m+n adapun Yp = my2 + ny1/ m+n adapun
Zp = mz2+nz1/m+n

Jika P merupakan titik tengah AB, maka

Xp = x2+x1/2 adapun Yp = y2+y1/2 adapun Zp = z2+z1/2

  1. Panjang

a. Jika titik P(x,y) dan O(0,0) di R2, maka

Panjang vektor OP = |OP|= √(x²+y²)

b. Jika titik P(x,y) dan O(0,0) di R2, maka

Panjang vektor OP = |OP|= √(x²+y²+z²)

  1. Jarak Dua Titik

Jika P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2) dan O(0,0,0). Vektor PQ

PQ = OQ - OP = (x2 y2 z2) - (x1 y1 z1) = (x2-x1 y2-y1 z2-z1)

|PQ| = √(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²

  1. Vektor Satuan

êv = v/|v|

Jika v = (a b), maka êv = 1/√(a²+b²)

Jika v = (a b c), maka êv = 1/√(a²+b²+c²)

  1. Menyatakan Vektor Menggunakan Vektor Satuan pada Sumbu Koordinat

Bidang Koordinat R2

Bidang Koordinat R3

v = (x y) = xî + yj

v = (x y z) = xî + yj + zk

  1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor

a . b = (a1 a2 a3) . (b1 b2 b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3

  1. Besar Sudut Antara Dua Vektor

Jika θ adalah besar sudut antara vektor a dan b, maka

a . b = |a||b|cosθ

cosθ = a.b/|a||b|

cos θ = a1b1+a2b2+a3b3/√(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+c3²)

  1. Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus

Jika a dan b adalah vektor tidak 0 dan θ sudut antar dua vektor

a) θ lancip jika dan hanya jika ā . b > 0

b) θ tumpul jika dan hanya jika ā . b < 0

c) θ = π/2(siku siku) jika dan hanya jika ā . b =0

  1. Sifat

a) ā . b = b . ā (komutatif)

b) ā.(b+c) = ā.b + ā.c (distributif)

c) m.(ā+b) = (mā) . b = ā . (mb) ; m bilangan real

d) ā . ā = |ā|² sehingga |ā| = (ā . ā)^½

e) ā . ā > 0 jika ā tidak sama dengan 0 dan ā . ā = 0 jika ā = 0

  1. Proyeksi Skalar Ortogonal

a) Proyeksi Skalar Ortogonal b pada ā = ā . b/|a|

b) Proyeksi Skalar Ortogonal ā pada b = ā . b/|b|

  1. Proyeksi Vektor Ortogonal

a) Proyeksi Vektor Ortogonal b pada ā = ā . b /|ā|² . ā

b) Proyeksi Vektor Ortogonal ā pada b = ā . b /|b|² . b