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Vecteurs aléatoires - Coggle Diagram
Vecteurs aléatoires
\( \textbf{Densité (singulière) conjointe} \\ f_{(X,Y)} \begin{cases} (X,Y)(\Omega) &\longrightarrow &[0,1] \\ (x,y) &\longmapsto &P(X = x, Y = y) \end{cases} \)
\( \text{Comme pour les variables aléatoires, il faut toujours commencer par déterminer }(X, Y)(\Omega) \\ \text{On a } (X,Y)(\Omega) \subset X(\Omega) \times Y(\Omega) \)
\( \textbf{Remarque importante} \\ \text{La loi conjointe donne le comportement de $X$ et $Y$ l'une par rapport à l'autre} \\ \text{Elle est beaucoup plus forte que les deux lois marginales !} \)
\( \textbf{Densité conditionnelle} \\ f_{X|(Y = y)} \begin{cases} X(\Omega) &\longrightarrow &[0,1] \\ x &\longmapsto &P(X = x|Y = y) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P(Y=y)} \end{cases} \)
\( \textbf{Loi composée} \\ f_{g(X,Y)} \begin{cases} (X,Y)(\Omega) &\longrightarrow &[0,1] \\ z &\longmapsto &\sum_{(x, y) \in (X, Y)(\Omega) \text{ tq } g(x, y) = z} P(X = x, Y = y) \end{cases} \)
indépendance
\( \textbf{Indépendance de deux v.a.} \\ P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B) \)
\( \textbf{Indépendance mutuelle} \\ \forall A_1 \subset X_1(\Omega), \dots, A_n \subset X_n(\Omega), \\ P(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n) = P(X_1 \in A_1)\dots P(X_n \in A_n) \)
\( \text{Les sous-familles héritent de l'indépendance mutuelle, donc indép. mut $\Rightarrow$ indép. deux à deux} \)
\( \textbf{Lemme des coalitions} \\ g_1(X_1, \dots, X_{p_1}), g_2(X_{p_1 + 1}, \dots, X_{p_2}), \dots, g_k(X_{p_{k - 1} + 1}, \dots, X_n) \text{ sont mutuellement indépendantes} \)
\( \text{Conservation de l'indép par coalition disjointe} \)
\( \textbf{Formule de transfert} \\ E(g(X,Y)) = \sum_{(x, y) \in (X, Y)(\Omega)} g(x, y)P(X = x, Y = y) \)
\( \textbf{Covariance} \\ \text{Cov }(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \)
\( \textbf{Kœnig-Huygens} \\ \text{Cov }(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \)
\( \text{C'est une forme bilinéaire symétrique positive} \)
\( V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\text{Cov }XY \)
\( V(\sum X_i) = \sum \text{Cov }(X_i, X_j) = \sum{V(X_i)} + 2\sum_{i < j}(X_i, X_j)\)
\( \textbf{Covariance et indépendance} \\ \text{Indépendance $\Rightarrow$ Cov $(X,Y) = 0$ (la réciproque est fausse !)} \\ \text{i.e. } E(XY) = E(X)E(Y) \quad \text{ et } \quad V(X + Y) = V(X) + V(Y) \)
\( \textbf{Corrélation} \\ \rho(X, Y) = \frac{\text{Cov }(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)} \)
\( \begin{array}{rl} \text{(i)} & \rho(X, Y) \in [-1;1] \\ \text{(ii)} & (\rho(X, Y) = \pm 1) \Rightarrow (\exists \lambda, \mu \in \mathbb R, X = \lambda Y + \mu \text{ p.s.}) \\ \text{(iii)} & \text{indép} \Rightarrow (\rho(X, Y) = 0) \text{ i.e. non corrélation} \end{array} \)