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Variables aléatoires finies - Coggle Diagram
\( \begin{array}{r|c|l|l}
\underline{\textbf{Loi}}& \underline{\textbf{Définition}} & \underline{\textbf{Espérance}} & \underline{\textbf{Variance}}
\\
\textit{Certaine} &
X(\Omega) = {m} &
E(X) = m &
V(X) = 0
\\
\textit{Loi uniforme } \mathscr U(X(\Omega)) &
\forall k \in [\![1;n]\!], \quad P(X=x_k) = 1/n &
E(X) = \frac{x_1+\dots+x_n}{n} &
V(X) = \frac{x_1^2+\dots+x_n^2}{n} - (\frac{x_1+\dots+x_n}{n})^2
\\
\textit{Loi de Bernoulli }\mathscr B(p) &
\begin{cases}X(\Omega) = \{0;1\} \\ P(X=1) = p \\ P(X = 0) = q = 1 - p\end{cases} &
E(X) = p &
V(X) = pq
\\
\textit{Loi binomiale }\mathscr B(n;p) &
{\begin{cases} X(\Omega) = [\![0;n]\!] \\ \forall k \in [\![0;n]\!], \quad P(X = k) = \binom{n}{k} p^kq^{n - k}\end{cases} \\ \scriptsize \text{ où $q = 1 - p$} \normalsize} &
E(X) = np &
V(X) = npq \quad \scriptsize \textbf{(moments factoriels)}
\\
\textit{Loi hypergéométrique }\mathscr H(N;n;p) &
{\begin{cases} X(\Omega) = [\![0;n]\!] \\ \forall k \in [\![0;n]\!], \quad P(X = k) = \frac{\binom{Np}{k} \binom{Nq}{n - k}}{\binom{N}{n}} \end{cases} \\ \scriptsize \text{où $q = 1 - p$} \normalsize} &
E(X) = np &
V(X) = npq\frac{N - n}{N - 1}
\end{array} \)
\( \scriptsize \color{gray}{\text{Loi certaine}} \)
\( \scriptsize \color{gray}{\text{Loi uniforme}} \)
\( \scriptsize \color{gray}{\text{Loi de Bernoulli}} \)
\( \scriptsize \color{gray}{\text{Loi Binomiale}} \)
\( \text{On justifie la loi binomiale en parlant de} \\ \text{n expériences de Bernoulli identiques et}\textbf{ indépendantes}\text{, chqaue succès se produisant avec la probabilité $p$.} \\ \scriptsize \text{Utiliser la phrase toute faite !} \)
\( \scriptsize \color{gray}{\text{Loi Hypergéométrique}} \)
\( \textbf{Formule de Vandermonde} \\ \sum_{k = 0}^n \binom{a}{k}\binom{b}{n - k} = \binom{a+b}{n} \)
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\( \textbf{Approximation par une loi binomiale} \\ \text{À $n$ et $p$ fixés, }\mathscr H(N;n;p) \longrightarrow_{N\rightarrow +\infty} \mathscr B(n;p) \)
\( \text{Si on trouve pas $X(\Omega)$, on peut ajouter des événements $(X=x)$ quasi-impossibles.} \)
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-
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\( \textbf{Écart-type} \\ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \\ \tiny \text{Une variable aléatoire d'écart-type (ou de variance) égale à 1 est dite }\textbf{réduite} \)
\( \begin{array}{rl} \text{(i)} & \sigma(X) \geqslant 0 \\ \text{(ii)} & \sigma(X + \mu) = \sigma(X) \\ \text{(iii)} & \sigma(\lambda X) = |\lambda|\sigma(X) \end{array} \)
\( \textbf{Variable centrée réduite} \\ \text{Si $X$ est d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma$ non nul,}\\ \text{alors $\frac{X - m}{\sigma}$ est dite centrée-réduite.} \\ E(\frac{X - m}{\sigma}) = 0 \quad\quad\quad\quad \sigma(\frac{X - m}{\sigma}) = 1\)
inégalités de dispersion
\( \textbf{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev} \\ P(|X - m| \geqslant d) \leqslant \frac{\sigma^2}{d^2} \)
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