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La derivada - Coggle Diagram

- - - - Sea c un número real perteneciente al dominio f, donde f es derivable en c.
        
        Si f'(c)>0, f es creciente en ese punto.
        
        Si f'(c)<0, f es decreciente en ese punto.
        
        Si f'(c)=0, f no es creciente ni decreciente en en c.
    - - Función constante
        
        Función de indentidad
        
        Potencia
        
        Múltiplo constante
        
        Suma
        
        Diferencia
        
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        Si f y g son funciones derivables, entonces (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x).
        
        Si k es una constante y f es una función derivable, entonces (kf)’(x)=kf’(x).
        
        Si f(x)=x^n, donde n es un entero positivo, entonces f’(x)=nx^(n-1).
        
        Si f(x)=x, entonces f’(x) = 1.
        
        Si f(x) = K, donde K es una constante, entonces para cualquier x, f’(x)=0.
      - DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
        
        Teorema A
        
        Teorema B
        
        Para todos los puntos x en el dominio de la función,
        Dx (tan x) = sec^2 x
        Dx (cot x) = -csc^2 x
        Dx (sec x) =sec x tan x
        Dx csc x = -csc x cot x
        
        Las funciones f(x)=sen x y g(x)=cos x son derivables y,
        Dx(sen x)=cos x
        Dx(cos x)=-sen x
      - REGLA DE LA CADENA
        
        Sean y = f(u) y u = g(x). Si g es derivable en x y f es derivable en u = g(x), entonces la función compuesta fog, definida por (fog)(x) = f(g(x)), es derivable en x.
        (𝑓𝑜𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑋)
        dy/dx=(dy/du)(du/dx)
        
        Ejemplo:
        Si 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 determine dy/dx
        𝑓(𝑢) = 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
        𝑔(𝑥) = 𝑢 = 2𝑥
        𝐷𝑥𝑦 = 𝐷𝑥𝑓(𝑔(𝑥) =
        𝑓′(𝑢)𝑔′(𝑥) = cos(𝑢) ∗ 2 = cos(2𝑥) ∗ 2 = 2cos (2𝑥)
  - - - La cuarta derivada se denota con f^(4), la quinta derivada se denota con f^(5), así sucesivamente.
      - La cuarta derivada se denota con f^(4), la quinta derivada se denota con f^(5), así sucesivamente.
      - Ejemplo:
        𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 7𝑥 − 8
        𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 8𝑥 + 7
        𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 8
        𝑓′′′(𝑥) = 12
        𝑓^(4)(𝑥) = 0
      - Ejemplo:
  - - - Funciones definidas por una ecuación en que la “y” no está despejada.
        
        Ejemplo:
        y^3 + 7y = x^3
      - No se requiere despejar "y" para encontrar la derivada.
      - Simplemente se derivan ambas lados de la función (se aplica la regla de la cadena).
        
        Ejemplo:
        y^3 + 7y = x^3
        (dy^3/dx)+(d7y/dx)=(dx^3/dx)
        (3y^2)(dy/dx)+7(dy/dx)=3x^2
        (dy/dx)[3y^2+7]=3x^2
        dy/dx= [3x^2]/[3y^2+7]
- - - - 1
        
        2
        
        3
        
        4
        
        5
        
        Sustituya en la ecuación encontrada en el paso 4 todos los datos que son válidos en el instante en particular, por lo cual la respuesta al problema es necesaria.
        
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        Derive implícitamente, con respecto a t, la ecuación encontrada en le paso 3. La ecuación resultante, que tiene derivadas con respecto a t, es valida para toda t > 0.
        
        Relacione las variables y escriba una ecuación que sea válida para todos los instantes t > 0, no sólo para alguno en particular.
        
        Establezca lo que está dado acerca de las variables y qué información se requiere de ellas.
        
        Esta información estará en la forma de derivada respecto a "t".
        
        Denote mediante "t" el tiempo transcurrido.
        
        Dibuje un diagrama que sea válido para toda t > 0.
        
        Etiquete las cantidades cuyos valores no cambian conforme t aumenta con sus respectivos valores constantes dados.
        
        Asigne letras a las cantidades que varía con t y etiquete las secciones convenientes de la figura con estas variables.
- - - - d(ku)=k*du
        
        d(v+u)=du+dv
        
        d(v-u)=du-dv
        
        d(u*v)=udv+vdu
        
        d(u/v)=[vdu-udv]/v^2
        
        d(u^n)=nu^(n-1)*du
  - - - ∆x es un incremento arbitrario en la variable independiente x.
        
        dx, denominada la diferencial de la variable independiente, es igual a ∆x.
        
        ∆y es el cambio real en la variable “y” cuando x cambia de x a x+∆x; esto es ∆y=f(x+∆x)-f(x).
        
        dy, llamada la diferencial de la variable dependiente “y”, se define como dy=f’(x)dx.
        
        APROXIMACIONES
        
        Un incremento ∆x produce un correspondiente incremento en ∆y en "y", que puede aproximarse con dy.
        
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- - - - 1.- f(c) es el valor máximo de f en S, si f(c) ≥ f(x) para toda x en S;
      - 2.- f(c) es el valor mínimo de f en S, si f(c) ≤ f(x) para toda x en S;
      - 3.- f(c) es el valor extremo de f en S, si es un valor máximo o un valor mínimo;
      - 4.- la función que queremos maximizar o minimizar es la función objetivo.
  - - - PASOS PARA CALCULAR VALORES EXTREMOS
        
        Encuentre los puntos críticos de f en I.
        
        PUNTOS CRÍTICOS
        
        Sea f definida en un intervalo I que contiene al punto c. Si f(c) es un valor extremo, entonces c debe ser un punto crítico; es decir, c es algunos de los siguientes:
        
        3.- Un punto singular de f; esto es, un punto en donde f’(c) no existe.
        
        2.- Un punto estacionario de f, es decir, un punto donde f’(c) = 0.
        
        1.- Un punto fronterizo de I.
        
        Evalué f en cada uno de estos puntos críticos. El mayor de estos es el valor máximo; el más pequeño es el valor mínimo.
- - - - (2) Si f’(x) < 0 para roda x en (a, c) y f’(x) > 0 para toda x en (c, b), entonces f(c) es un valor mínimo local de f.
      - (3) Si f’(x) tiene el mismo signo en ambos lados de c, entonces f(c) no es un valor extremo de f.
      - (1) Si f’(x) > 0 para roda x en (a, c) y f’(x) < 0 para toda x en (c, b), entonces f(c) es un valor máximo local de f.
  - - - (1) Si f’’(c) < 0, f(c) es un valor máximo local de f.
      - (2) Si f’’(c) >0, f(c) es un valor mínimo local de f.
      - No toma en cuenta los puntos singulares.