Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
STATISTICA SPAZIALE - Coggle Diagram
STATISTICA SPAZIALE
Processo di Punto spaziale
N(B)
N: insieme di punti
W: finestra
B: Borelliano
Tipi
Sampled
Mapped point process
Semplice
P(N(s) Ε [0, 1] ) = 1 per ogni s
μ(B)
E(Ν(Β))
μ(B) = int λ(s)ds
λ(s) fz di intensità
Processo di Poisson
Omogeneo
N~Po(θ)
θ = λ|W|
0 < λ < inf
|W| area di W
λ: numero medio di eventi per area
CSR
Proprietà
Stazionario in senso debole
Invariante
Semplice
Isotropico
Non Omogeneo
μ(B) = int λ(s) ds
N ~ Po(μ(B))
Intensità varia nello spazio
B1, ... , Bk disgiunti allora N(Bk) v.a. indipendenti
Simulazione processi di Poisson
Cox
Neyman-Scott
Thomas
Stima fz di intensità
HPP: λ^ = N(W) / |W|
Corretto
Consistente
IHPP
Difficile calcolare l'integrale
Parametrica
Trend surface model
fz di intensità con coordinate regionalizzate
Non parametrica
Quadrat counts
Per ogni quadrato: λ^ = N(W) / |W|
Circolare
λ^ = Σ I(||s-sλ ||<= h) / h^2 π
Tenere in conto l'effetto bordo
Kernel
λ^(s) = Σ1/h^2 k(s-si / h)
k(u) kernel
Positiva
Unimodale
Radialmente simmetrica rispetto a 0
Tipi
Epanechnikov
Gaussiano
h parametro di lisciamento
h piccolo stime più variabili
h grande stime regolari
Verifica dell'ipotesi CSR
Test Montecarlo
Genero B volte HPP
H0: HPP
p-value = 1/B Σ I(Q*i > Qoss)
Esatto
Test basato sui quadrat counts
Divido la spazio in k sottoaree
X^2 = (k-1)s^2 / n distr χ^2_k-1
Bilaterale
χ^2`<< k-1 allora processo regolare
χ^2 >> k-1 processo clusterizzato
Test basato sulla distanza del vicino più vicino
FR CSR: G(r) = 1 - exp(λπr^2), r >= 0
FRE: G^(r) = 1/n ΣI(ri <= r)
Confronto grafico
MC per creare bande
Test basato sulla distanza tra il punto e l'evento più vicino
Test Distanza intrapunto
Funzione J
Funzione K
Dati georeferenziati
Riferiti ad una collocazione fisica
Coordinate
Sistema di riferimento
Georeferinzazione
tecniche per identificare una posizione
Diretta
Indiretta
Sistema di riferimento geografico(datum)
Terra ~ ellissoide
Coordinate
Latitudine
[90°N, 90°S]
Meridiani
Longitudine
[180°E, 180°W]
Paralleli
Roma 40
ED50
WGS84
Sistemi di rappresentazione geografica
Equazioni di rappresentazione
X = X(λ, φ)
Y = Y(λ, φ)
fz che rappresentano un ellissoide sul piano
Proiezioni
Per proprietà fisiche
Conformi
Equidistanti
Equivalenti
Per procedura
Cilindriche
Coniche
Sistemi
Di Gauss
UTM
Gauss-Boaga
Sistemi informativi geografici(GIS)
Dati vettoriali
Uso linee e curve
Dati Raster
Matrice di celle
Celle = Pixel
Shapefile
Proprietà processi spaziali
Covarianza
Processo stazionario in senso debole
C(0) = Var(S(x))
C(h) = C(-h)
C(h) definita positiva
Covariogramma = rappr grafica
Correlazione
ρ(h) = C(h) / C(0)
Correlogramma rappr grafica
Variogramma
PSS intrensecamente stazionario
2γ(h) = Var(S(x+h) - S(x))
γ(h) >= 0, γ(0) = 0
γ(h) = γ(-h)
γ(h) condizionatamente definita negativa
Caratteristiche γ(h)
Soglia
lim per u tend a inf di γ(u)
Range
Distanza h in cui γ(h) raggiunge la soglia o una percentuale di essa
Effetto pepita
lim di un tend a 0 γ(u) = α
Relazione var e covar
2γ(h) = 2(C(0) - C(h))
Un processo debolmente staz è anche intrensicamente staz
Isotropia
γ(h) dipende sola dalla distanza e non dalla direzione
γ(h) dipende solo da ||h||
Modello Geostatistico
Y(s) = μ(s) + Z(s) + ε(s)
μ(s)
Comp deterministica
Variabilità di larga scala
Come evolve in media il processo
Z(s)
Processo alleatorio
Variabilità di piccola scala
Media nulla
ε(s)
Errore
Processo alleatorio
Regressione non parametrica per μ(s)
LOESS
regr a polinomi locali
Usa pesi in base alle distanze tra punti
Funzione tricubica
Variogramma empirico per Z(s)
Non parametrico
2γ^(h) = 1/#N(h) Σ(Y(si) - Y(sj))^2
Fasce di tolleranza [h-δ, h+δ]
Proprietà
γ^(h) >= 0, γ^(0) = 0
γ^(||h||) = γ^(||-h||)
Corretto
Consistente
Versione robusta
Stima Kernel
2γ^(h, d) = Σwij {Y(si) - Y(sj)}^2
wij persi kernel
k(u) >= 0 per ||u||<=1
Peso distanze solo entro u
Peso di più distanze vicine
Variogramma direzionale
Basato su coppie in una direzione
va valutato solo per h non troppo elevato
In presenza di trend
Detrendizzare con OLS : e(s) = Y(s) - μ^(s)
Rischio alterazione struttura di dipendenza
Caratteristiche
Soglia
Range
Nugget
Parametrico
ML
Assumo Y(s) gaussiano
Metodo minimi quadrati
Assumo Y(s) intresn staz
1: stima vario empirico
2: Analisi visiva: nugget, soglia, range
3: stima θ per rendere minima la distanza tra il teorico e l'empirico
4: θ^mod = argmin[ (2γ(θ) - 2γ^(θ))' (2γ(θ) - 2γ^(θ)) ]
5: mod: OLS, WLS, GLS
Kriging
Ordinario
y^(s0) = ΣαiY(si)
Σαi = 1
α* = Γ0^-1γ0
γ^ = α*'Y
Γ0 invert poichè γ(h) è condizionatamente negativa
Proprietà
Migliore previsore lineare correto
Esatto
Semplice quando μ(s) nota
Miglior previsore lineare in assoluto
Varianza
Non dipende dai dati | γ(h)
Garantito > 0 da γ(h) definita cond negativa
Dipende dalle locazioni dei siti inclusi
Dipende dal sito di previsione
Locale
Prendo k osservazioni per ogni previsione
Non ottimo
Computazionalmente meno esigente
Universale
αu = Γu^-1γu
γ^ = α'Y
μ(s) non costante ed ignota
Processo non stazionario