STATISTICA SPAZIALE

Dati georeferenziati

Riferiti ad una collocazione fisica

Coordinate

Sistema di riferimento

Georeferinzazione

tecniche per identificare una posizione

Diretta

Indiretta

Sistema di riferimento geografico(datum)

Terra ~ ellissoide

Coordinate

Latitudine

[90°N, 90°S]

Meridiani

Longitudine

[180°E, 180°W]

Paralleli

Roma 40

ED50

WGS84

Sistemi di rappresentazione geografica

Equazioni di rappresentazione

X = X(λ, φ)

Y = Y(λ, φ)

fz che rappresentano un ellissoide sul piano

Proiezioni

Per proprietà fisiche

Conformi

Equidistanti

Equivalenti

Per procedura

Cilindriche

Coniche

Sistemi

Di Gauss

UTM

Gauss-Boaga

Sistemi informativi geografici(GIS)

Dati vettoriali

Uso linee e curve

Dati Raster

Matrice di celle

Celle = Pixel

Shapefile

Processo di Punto spaziale

N(B)

N: insieme di punti

W: finestra

B: Borelliano

Tipi

Sampled

Mapped point process

Semplice

P(N(s) Ε [0, 1] ) = 1 per ogni s

μ(B)

E(Ν(Β))

μ(B) = int λ(s)ds

λ(s) fz di intensità

Processo di Poisson

Omogeneo

N~Po(θ)

θ = λ|W|

0 < λ < inf

|W| area di W

λ: numero medio di eventi per area

CSR

Proprietà

Stazionario in senso debole

Invariante

Semplice

Isotropico

Non Omogeneo

μ(B) = int λ(s) ds

B1, ... , Bk disgiunti allora N(Bk) v.a. indipendenti

N ~ Po(μ(B))

Intensità varia nello spazio

Simulazione processi di Poisson

Cox

Neyman-Scott

Thomas

Stima fz di intensità

HPP: λ^ = N(W) / |W|

Corretto

Consistente

IHPP

Difficile calcolare l'integrale

Parametrica

Trend surface model

fz di intensità con coordinate regionalizzate

Non parametrica

Quadrat counts

Per ogni quadrato: λ^ = N(W) / |W|

Circolare

λ^ = Σ I(||s-sλ ||<= h) / h^2 π

Tenere in conto l'effetto bordo

Kernel

λ^(s) = Σ1/h^2 k(s-si / h)

k(u) kernel

Positiva

Unimodale

Radialmente simmetrica rispetto a 0

Tipi

Epanechnikov

Gaussiano

h parametro di lisciamento

h piccolo stime più variabili

h grande stime regolari

Verifica dell'ipotesi CSR

Test Montecarlo

Genero B volte HPP

H0: HPP

p-value = 1/B Σ I(Q*i > Qoss)

Esatto

Test basato sui quadrat counts

Divido la spazio in k sottoaree

X^2 = (k-1)s^2 / n distr χ^2_k-1

Bilaterale

χ^2`<< k-1 allora processo regolare

χ^2 >> k-1 processo clusterizzato

Test basato sulla distanza del vicino più vicino

FR CSR: G(r) = 1 - exp(λπr^2), r >= 0

FRE: G^(r) = 1/n ΣI(ri <= r)

Confronto grafico

MC per creare bande

Test basato sulla distanza tra il punto e l'evento più vicino

Test Distanza intrapunto

Funzione J

Funzione K

Proprietà processi spaziali

Covarianza

Processo stazionario in senso debole

C(0) = Var(S(x))

C(h) = C(-h)

C(h) definita positiva

Covariogramma = rappr grafica

Correlazione

ρ(h) = C(h) / C(0)

Correlogramma rappr grafica

Variogramma

PSS intrensecamente stazionario

2γ(h) = Var(S(x+h) - S(x))

γ(h) >= 0, γ(0) = 0

γ(h) = γ(-h)

γ(h) condizionatamente definita negativa

Caratteristiche γ(h)

Soglia

lim per u tend a inf di γ(u)

Range

Distanza h in cui γ(h) raggiunge la soglia o una percentuale di essa

Effetto pepita

lim di un tend a 0 γ(u) = α

Relazione var e covar

2γ(h) = 2(C(0) - C(h))

Un processo debolmente staz è anche intrensicamente staz

Isotropia

γ(h) dipende sola dalla distanza e non dalla direzione

γ(h) dipende solo da ||h||

Modello Geostatistico

Y(s) = μ(s) + Z(s) + ε(s)

μ(s)

Comp deterministica

Variabilità di larga scala

Come evolve in media il processo

Z(s)

Processo alleatorio

Variabilità di piccola scala

Media nulla

ε(s)

Errore

Processo alleatorio

Regressione non parametrica per μ(s)

LOESS

regr a polinomi locali

Usa pesi in base alle distanze tra punti

Funzione tricubica

Variogramma empirico per Z(s)

Non parametrico

2γ^(h) = 1/#N(h) Σ(Y(si) - Y(sj))^2

Fasce di tolleranza [h-δ, h+δ]

Caratteristiche

Soglia

Range

Nugget

Proprietà

γ^(h) >= 0, γ^(0) = 0

γ^(||h||) = γ^(||-h||)

Corretto

Consistente

Versione robusta

Stima Kernel

2γ^(h, d) = Σwij {Y(si) - Y(sj)}^2

wij persi kernel

k(u) >= 0 per ||u||<=1

Peso distanze solo entro u

Peso di più distanze vicine

Variogramma direzionale

Basato su coppie in una direzione

va valutato solo per h non troppo elevato

In presenza di trend

Detrendizzare con OLS : e(s) = Y(s) - μ^(s)

Rischio alterazione struttura di dipendenza

Parametrico

Assumo Y(s) gaussiano

Metodo minimi quadrati

Assumo Y(s) intresn staz

1: stima vario empirico

2: Analisi visiva: nugget, soglia, range

3: stima θ per rendere minima la distanza tra il teorico e l'empirico

4: θ^mod = argmin[ (2γ(θ) - 2γ^(θ))' (2γ(θ) - 2γ^(θ)) ]

5: mod: OLS, WLS, GLS

Kriging

Ordinario

y^(s0) = ΣαiY(si)

Σαi = 1

α* = Γ0^-1γ0

γ^ = α*'Y

Γ0 invert poichè γ(h) è condizionatamente negativa

Proprietà

Migliore previsore lineare correto

Esatto

Semplice quando μ(s) nota

Miglior previsore lineare in assoluto

Varianza

Non dipende dai dati | γ(h)

Garantito > 0 da γ(h) definita cond negativa

Dipende dalle locazioni dei siti inclusi

Dipende dal sito di previsione

Locale

Prendo k osservazioni per ogni previsione

Non ottimo

Computazionalmente meno esigente

Universale

αu = Γu^-1γu

γ^ = α'Y

μ(s) non costante ed ignota

Processo non stazionario