Cap 4 - Idealização do comportamento de barras
4.1 Campo de Deslocamentos
Axias (u)
Tranversais(v)
Sistema de Coordenadas Locais
Hiposteses
Manutenção das seções Transversais Planas
teta = tan(teta)
Desprezar esforço normal em y
Estado plano de tensões
u(x,y) = teta * y
v(x, y) = 0
Definido por:
uo(x)
vo(x)
teta(x)
v(x,y) = vo(x)
u(x,y) = uo(x) - teta(x)*y
Em relação à ( uo, vo)
Modelos
Pórticos Planos [ uo(x), vo(x), teta(x) ]
Pórticos Espaciais
xy + xz
[ uo(x), vo(x), wo(x), teta(x)]
Grelhas [ phi(x), teta(x), wo(x) ]
4.2 Campo de Tensões e esforços Internos
Componentes
Tensão Normal x
Tensão Normal y
Tensão Cisalhamento T x
Tensão cisalhamento T y
Força/un.Volume x(bx)
Força/un.volume y (by)
Equilib. de Momentos
cisalhamento T x = cisalhamento Ty
Tensor de Tensões
Matriz
Formada pelos componente
Um ponto do Modelo
definida por um vetor
Vetor de força aplicada (bx , by)
Igual a Zero
Porticos
Grelhas
Flexão
Flexão + Compressão
Esfoços Internos
Integrações de tensões da seção
N(x)
V(x)
M(x)
T(x)
4.3 Relação de Compatibilidade entre deslocamento e deformação
pequenas deformações
Relações lineares
Ex = du / dx
Ey = dv / dy
gama = (du / dy) + (dv / dx)
Estado plano Ez = 0
campo de deslocamentos
Ex = duo / dx - ( d(teta) / dx) * y
Ey = 0
gama = dvo / dx - teta
Deformações Axiais
Solicitações Axiais
uniforme
seção permanece plana
Ex(a) = duo / dx
Deformação normal por flexão
Relaciona
Rotação
Deformações normais
Primeira Parte Equação Ex
Ex(f) = - ( d(teta) / dx ) * y
Segunda Parte Equação Ex
Gradiente de Rotação kf = d(teta) / dx
Viga de Navier
Seção Perpendicular (Euler - Bernoulli)
Despreza def. cisalhamento
teta = dvo / dx
dx = raio curvatura * d(teta)
Ex (f)= - y / raio de curvatura
1 / raio curvatura = d²vo / dx²
kf = d²vo / dx²
Viga de Timoshenko
seção não perpendicular
Considera cisalhamento
teta != dvo / dx
Ex não relacionado com a curvatura
Interpretações
Rotação Adicional
distorção Tranvesal
Deformação Por Efeito Cortante
Distorção de cisalhamento média
Hipotese de seção plana
gama(s) = dh / dt
Distorção por Torção
Distorções de Cisalhamento
proporcional ao raio
gama (t) = d(phi) / dx * r
Gradiente de Rotação
kt = d(phi) / dx
Vetor de deformação
[ Ex(a), gama(s), Kf ]
[ kt, kf, gama ]
4.4 Relações Diferenciais de Equilibrio
Condições de equilibrio
Satisfeita para o todo
Satisfeito para uma parte
equilibrio elemento infinitesimal
3 condições
forças em X
forças em Y
Momento
d(tensao x) / dx + d(cisalhamento T y / dy + bx = 0
d(tensao y ) / dy + d(cislhamento T y) / dy + by = 0
cisalhamento T x = cisalhamento T y
Condições de Eq. Caso Plano
Operador diferencial inverso deformações
Fx = 0
dN / dx = -qx(x)
Fy=0
dV / dx = -qy(x)
M = 0
d²M / dx² = qy(x)
dM / dx = -V(x)
Condições de Eq. na Torção
Mx = 0
dT / dx = -mt(x)
4.5 Lei Constitutiva linear para o material
Nível Macroscópico
Relação Tensão X Deformação Proporcional
Regime Elástico Linear
Sem Deformação Residual
Lei de Hook
Parâmetros
E = Módulo de Elasticidade
G = Módulo de Cisalhamento
v = Coeficiente de Poisson
G = E / ( 2 * (1+V))
Para um esfoço axial em X
def x = tensao x / E
def y = -v * tensao x / E
def z = -v * tensao z / E
compressão
Encutamento em X
Alongamento em y e z
Tração
Alongamento em X
Encurtamento em y e z
Para um esforço cisalhante
gama xy = (cisalhamento T x) / G
Para o nosso estudo def y = def z = 0
Lei Constitutiva ( tensao x = E * def x )
Lei constitutiva cislhamento T x = G * gama
Cortante
Torçor
4.6 Equilíbrio entre Tensões e Esforços Internos
Tensões Normais
Tensões de Cisalhamento
Equilibrio
Normal
Fletor
Flexão Composta Reta
Normal + Fletor
Eixo Principal
Tensão constante para c/ y
Tensão varia linearmente com y
Seções Planas
Comportamento linear
Tensões unifomes
Tensões nulas
N = INT(tensao x(a) * da)
N = Tensao x (a) * A
INT(tensao x (f)) * da) = 0
Momento = 0
M = INT( -y tensao x(f) da)
Convensão de Sinal
Obtenção da Expressão
Momento Fletor
Rotação da Seção
Seção 4.5 e 4.3
Momento de Inercia
I = INT( y² * da)
M / EI = d(teta) / dx
Eq. Linha Elástica
Estrutural 2
Tensão x (f) = (+ ou -) M * y / I
Esforço Cortante
Momento Torçor
Tensões de cisalhamento Reciprocas
Plano Longitudinal da barra
Porção Inferior isolada
Análise de equilibrio na porção
Momento Estático
S = INT( y' * da)
F' = - (M / I )* S(y)
dF' = - (dM / I) * S(y)
F' = INT(tensao X ) * da'
Diferença dF' equilibrada pelo cisalhamento longitudinal
dF' = cisalhamento b(y) dx
dM / dx = V
cisalhamento = V S(y) /( I b(y))
Distribução Parabólica de tensões
Aproximação
Distorção Uniforme
Hipotese das seções planas
Tensão na direção y
Tensões Tangenciais
Perpendiculares ao raio
Depende Da forma da seção
Equilibrio
Produto vetorial r X cisalhamento
T = INT ( | r X cisalhamento | * da )
Borda do circulo
4.7 Relação de Rigidez do
Elemento infinitesimal de Barra
Rigidez à flexão
E . I
kf = d(teta) / dx
M = E.I.kf
M = E. I. d(teta)/dx
Rigidez Tranversal
G . As
área efetiva As
Lembra de olhar no livro (aprofundar)
àrea abaixo da curva V x dh
Energia de defomação dU
Distorção na direção z - Grelha
Distorção na direção y - porticos
gama(s) = dvo / dx - teta
V = G.As . gama(s)
sem empenamento
As = A / Qui
Rigidez Axial
E . A
N = E . A . def x (a)
def x = duo / dx
tensao x (a) = E * def x
N = tensao x (a) * A
Rigidez à Torção
G . J
Navier
1/raio = M / EI
kf = d²v / dx²
J = Momento polar de Inércia
J = INT( r² * da)
T = G. J . ( d(phi)/dx )
T = G . J . k
kt = d(phi)/dx
4.8 Relações Matriciais
Navier
Timoshenko
4.9 Equações Diferenciais dos modelos analíticos
considera
compatibilidade deslocamento x deformação
Seção 4.3
Condições de equilibrio
Seção 4.4
Leis Constitutivas
Seção 4.5
Para o Comportamento Axial
Para a Flexão - NAVIER
Equações
dN / dx = qx(x)
def x (a) = duo / dx
tensao x (a) = E . def x (a)
N(x) = E.A(x).(duo/dx)
d(E.A(x).duo/dx ) /dx = -q(x)
d²uo / dx² = - q(x) / (E.A)
Solução Homogenia
qx(x) = 0
uoh(x) = bo + b1 .x
Solução Particular
q(x) variando linear
q(x) = qxo + qx1 . x / l
uop(x) = -qxo.(x²/(2EA)) - qx1.(x³/(6EA.l))
Solução geral
uo = uoh(x) + uop(x)
relação entre vo(x) e qy(x)
Equações
teta = dvo / dx
M(x) = E . I(x) . d(teta) / dx
M(x) = E . I(x) . d²vo / dx²
V(x) = - E . I . d³vo / dx³
d²M(x)/dx² = q(x)
d²(E . I(x) . d²vo / dx²) /dx² =qy(x)
vo'''' = qy(x) / E.I
Solução Homogenia
considerando I costante
qy(x) = 0
voh(x) = c0 + c1.x + c2. x²/2 + c3 . x³ / 6
teta h (x) = c1 + c2.x + c3 . x²/ 2
Solução Particular
Depende da distribuição de carga
Solução de contorno - Extremidade
Para qy(x) linera
Carga triangular
qy(x) = qyo + qyi . x / L
vop(x) = qyo( x^4 / (24EI)) + qy1(x^5/(120EI.L)
teta p(x) = qyo .(x³ / 6.EI) + qy1 . (x^4 / 24.EI.L)
Para a Flexão - TIMOSHENKO
Soluções Gerais
vo(x) = co + c1.x + c2.x²/2 + c3.x³/6 + qyo.x^4/(24EI) + qy1.x^5/(120.EI.L)
teta(x) = c1 + c2.x + c3.x²/2 + qyo.x³/(6.EI) + qy1.x^4/(24.EI.L)
M(x) = EI.c2 + EI.c3.x + qyo.x²/2 + qy1.x³/(6.L)
V(x) = - EI.c3 - qyo.x - qy1.x²/(2.L)
Duas Variaveis
deslocamento transversal vo(x)
rotação da seção teta(x)
Equações
V(x) = G.As(x).gama(S)
gama(s) = dvo / dx - teta
M(x) = EI(x) . d(teta) / dx
V(x) = G.As(x).(dvo/dx - teta)
d(G.As(x).(dvo/dx - teta)) / dx= -qy(x)
dV(x)/dx = -qy(x)
dM(x)/dx = V(x)
d(EI(x).dteta/dx)/dx + G.As(x).(dvo/dx - teta) = 0
Soluções Homogenias
qy(x) = 0
teta h(x) = c1 + c2.x + c3.x²/2
voh(x) = co +c1.x + c2 . x²/2 + c3 . (x³/6 - (EI/GAs) . x)
omega = EI/(GAs * L²)
voh(x) = co +c1.x + c2 . x²/2 + c3 . (x³/6 - omega .L² . x)
GAs >>> EI --> omega = 0
Justifica o uso da teoria de Navier
Soluções Particulares
qy(x) = qyo + qyi . x / L
teta p(x) = qyo.x³/(6.EI) + qy1.x^4/(24.EI.L)
vop(x) = qyo (x^4/(24.EI) - omega.L².x²/(2.EI)) + qy1 . ( x^5/(120.EI.L) - omega.L².x³/(6.EI.L))
Para Torção
Analogia ao axial
Equações
dT/dx = -mt(x)
T(x) = G.J(x).dphi/dx
d(GJ(X).dphi/dx) = -mt(x)
d²phi/d² = -mt(x)/(GJ)
Solução Homogênia
mt(x) = 0
phi h(x) = bo + b1.x
Solição Particular
Não acrescenta novos coeficiente
depende da distribuição
RELAÇÂO
TENSÃO X DEFORMAÇÃO
RELAÇÃO
DESLOCAMENTO X DEFORMAÇÃO
RELAÇÃO
TENSÕES X SOLICITAÇÃO
RELACIONA
SOLICITAÇÃO X DEFORMAÇÃO
RELAÇÃO
SOLICITAÇÃO X CARREGAMENTO
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