Goniometria
Angoli
la misura di un angolo in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza di un arco e il raggio che lo individua
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α in radianti : α in gradi = π : 180
area del settore circolare = 1/2 ⋅ α in rad ⋅ r^2
lunghezza arco = α in rad ⋅ r
in base al senso di rotazione del lato termine rispetto al lato origine, un angolo orientato può essere
positivo quando è descritto da una rotazione in senso antiorario
negativo quando è descritto da una rotazione in senso orario
per circonferenza goniometrica si intende la circonferenza che ha come centro l'origine O degli assi e ha raggio di lunghezza 1
il grado sessagesimale è la 360° parte di un angolo giro, può essere diviso in 60 primi (') e ogni primo è divisibile in 60 secondi ('')
la sua equazione è x^2+y^2 = 1
il punto E (1;0) è detto origine degli archi
Funzioni goniometriche
considerando la circonferenza goniometrica e un angolo orientato α e sia B il punto della circonferenza associato ad α
seno e coseno (cos α e sin α) sono le funzioni che associano ad α il valore dell'ascissa e dell'ordinata: cos α = xb ; sin α = yb
il dominio delle funzioni è R e il codominio è [-1;1]
il grafico della funzione seno è detto sinusoide, quello della funzione coseno è detto cosinusoide e si tratta di funzione periodiche di periodo 2π
la prima relazione fondamentale della goniometria:
cos^2 α + sin^2 α = 1
tangente di α è la funzione che associa ad α il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto B: tan α = yb / xb
il dominio della funzione è R e il codominio è R
il grafico della funzione si avvicina sempre di più all'asindoto verticale, si chiama tangentoide (ha asindoti infiniti) e si tratta di una funzione periodica di periodo π
la seconda relazione fondamentale della goniometria: tan α = sin α / cos α
secante di α è la funzione che associa ad α il reciproco del valore di cos mentre cosecante di α è la funzione che associa ad α il reciproco del valore di sin α: sec α = 1 / cos α ; csc = 1 / sin α
il grafico di un funzione si ottiene da quello dell'altra con una traslazione di vettore parallelo all'asse x e modulo π / 2 : quello della secante ha asindoti verticali di equazione x = π / 2 + kπ e quello della cosecante ha asindoti verticali di equazione x = 0 + kπ
il dominio della funzione secante è R - {π / 2 + kπ, k ∈ R} mentre il dominio della funzione cosecante è R - {0 + kπ, k ∈ R} e il codominio di entrambe è R - ]-1;1[
cotangente di α è la funzione che associa ad α il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto B: cot α = xb / yb, di conseguenza cot α = cos α / sin α e cot α = 1 / tan α
il dominio della funzione è x ≠ k ⋅ r e il codominio è R
nel grafico gli asindoti verticali hanno equazione x = kπ e si tratta di una funzione periodica di periodo π
le funzioni goniometriche inverse
la funzione inversa del seno è detta arcoseno: y = arcsin x ; il dominio è [-1;1] mentre il codominio è [ - π / 2 ; π / 2 ]
la funzione inversa del coseno è detta arcoseno: y = arccos x ; il dominio è [-1;1] e il codominio è [0;π]
la funzione inversa della tangente è detta arcotangente: y = arctan ; il dominio è R e il codominio è ] - π / 2 ; π / 2 [
la funzione inversa della cotangente è detta arcocotangente: y = arccot x ; il dominio è R e il codominio è ] 0;π [
i loro grafici si ottengono dalle loro funzioni inverse tracciando i simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quarante
il coefficiente angolare della retta y = mx è uguale al rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto B, di conseguenza m = sen α / cos α e quindi è uguale alla tangente dell'angolo α
considerando un angolo α vengono chiamati angoli associati
gli angoli α e - α sono opposti perchè congruenti e orientati in verso opposto
gli angoli α e 2π - α sono esplementari perchè la somma è un angolo giro
gli angoli α e π - α sono angoli supplementari
gli angoli α e π + α sono angoli che differiscono di un angolo piatto
gli angoli α e π / 2 - α sono complementari
gli angoli α e π / 2 + α sono angoli che differiscono di un angolo retto
gli angoli α e 3/2 π - α hanno come somma 3/2 π e come differenza 3/2 π