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Calculo Numérico - Coggle Diagram
Calculo Numérico
Erros
Absoluto
A diferença entre o valor exato ( x ) e o valor aproximado ( x" ) Ea= |x-x"|
Relativo
A diferença entre o módulo do valor exato ( x ) e o valor aproximado ( x") e o quociente pelo valor exato, no cálculo computacional pode ser medida pelo erro relativo.
O erro relativo Er é definido como:
Er= |x-x"| / |x|
Percentual
O erro relativo costuma ser expresso como erro percentual, assim basta multiplicar o erro relativo por 100.
Ep= Er x 100
Iterações
Newton Raphson
faça a tabela de interação.
| interação | Xk | F(x) | F'(xk) | erro |
| 1 | 2 | 3,9206 | 10,500 | 3,9206 |
| 2 | ... | ... | .... | .... |
Determine a raiz de F(x) = x^3 - 3ln(x) - 2 no intervalo de (1,2) com erro ≤ 0,05.
Faça a derivada da função F'(x) 3x^2 - 3/x
Iteração 1
inicie preenchendo a tabela com o valor da estimativa inicial x1 = 2
O próximo passo é determinar a imagem de x1, ou seja, f(2) = 2^3 - 3ln(2) - 2 = 3,9206
Em seguida, determine F'(2)= 3 . 2^2 - 3/2 = 10,5
Calcule o erro que é |f(x1)| = | 3,9206|. Como 3,9206 e maior que 0,05; o processo deve ser repetido,
O valor de x2 é calculado por meio da fórmula iterativa: x2 = x1 - F(x1)/ F'(x1); exemplo: 2 - 3,9206/10,5 = 1,6266
O processo deve ser repetido para x2= 1,6266
Bissecção
i. Localize o intervalo [𝑎, 𝑏] que contém apenas uma raiz da função 𝑓(𝑥).
ii. Determine o ponto médio do intervalo: 𝑥𝑚 =𝑎+𝑏
iii. A raiz estará em [𝑎, 𝑥𝑚] se 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑥𝑚) < 0; senão estará no intervalo [𝑥𝑚, 𝑏]
iv. Calcule o erro até que o erro seja menos que a tolerância. erro= a - xm
Exemplo:
Calcular a raiz positiva da equação (𝑥) = 𝑥 2 − 2 = 0 com 𝜀 ≤ 0,05.
faça a tabela de sinais:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Sinal de f(x) | - | - | + | + | +|
A tabela abaixo apresenta os resultados obtidos a cada iteração.
Iteração 𝒙 = 𝒂 𝒙 = 𝒙𝒎 𝒙 = 𝒃 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒙𝒎) 𝒇(𝒃) Erro
1 | 1 | 1,5 | 2 | -1 | 0,25 | 2 | 0,5 |
2 | 1 | 1,25 | 1,5 | -1 | -0,4375 | 0,25 | 0,25 |
3 | 1,25 | 1,375 | 1,5 | -0,4375 | -0,1094 | 0,25 | 0,125 |
4 | 1,375 | 1,4375 | 1,5 | -0,1094 | 0,0664 | 0,25 | 0,0625 |
5 | 1,375 | 1,4063 | 1,4375 | -0,1094 | -0,0225 | 0,0664 | 0,0313 |
Inicie preenchendo a tabela com 𝑥 = 𝑎 = 1 extremo esquerdo do intervalo
encontrado e 𝑥 = 𝑏 = 2, que é o extremo direito do intervalo
O próximo passo é calcular o ponto médio entre 1 e 2, ou seja, mx = 1+2/2 = 1,5
Em seguida, determine imagens dos extemos e do ponto médio, para isso calcule f(1) = 1^2 - 2 = -1 f(1,5) = 1,5^2 - 2 e f(2) = 2^2 - 2 = 2
O que importa na verdade é o sinal das imagens, pois a condição é que ocorra uma troca de sinal. Como f(1) . f(1,5)<0, então a raiz está entre [1;1,5]
Calcule o erro que é a diferença, em modulo, entre o extremo esquerdo e o ponto médio, |1,5 - 1| = 0,5 > erro maior que 0,05. o processo deve ser repetido.
Conversões Numéricas
Binário p/ Decimal
Multiplicar cada número pela potência de sua posição n (2^n) e somar os resultados.
10,101 para decimal:
1 x 2^1 = 2
0 x 2^0 = 0
1 x 2^-1 = 0,5
0 x 2^-2 = 0
1 x 2^-3 = 0,125
2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 2,625
Decimal p/ Binário
Parte Fracionária - Sucessivas multiplicações da parte decimal por 2 e pegar os valores inteiros.
Parte Inteira - Sucessivas divissões por 2 e pegar o resultado da última divisião e resto das demais.
Exemplo:
0,8125 x 2 = 1,625 -- > 1
0,625 x 2 = 1,25 -- > 1
0,25 x 2 = 0,50 --> 0
0,50 x 2 = 1,0 -- >1
0,8125 = 0,1101
Equações
Para realizar o Plot do gráfico utilize a função ( Plot ) no www.wolframalpha.com
