Funzioni derivate
una funzione f si dice derivabile nel punto x0 del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento della variabile x
f si dice derivabile in un intervallo se: f è derivabile in tutti i punti interni di I, se I è chiuso sia a destra che sinistra
fondamentali
se una funzione è derivabile in un punto x0, allora e anche continua nello stesso punto
teorema non invertibile
Algebra delle derivate
f(x) = x --> D[x]=1 <---derivata funzione identica
f(x)=x^n, n appartenente a N* --> D[x^n] = nx^n-1<---derivata funzione potenza
f(x)=a^x, a>0, a diverso da 1 --> D[a^x]=a^x lna<---derivata funzione esponenziale
f(x)=logx, a>0, a diverso da 1--> D[logx]= 1/x logx= 1/x lna <---derivata funzione logaritmica
f(x)=c,c appartenente a R --> D[c]=0 <----derivata funzione costante
f(x)=senx --> D[senx]=cosx <---derivata funzione seno e coseno
derivata della somma algebrica di due funzioni
derivata del prodotto funzioni
derivata della funzione reiproca
derivata del quoziente di due funzioni
funzioni composte
Se g è una funzione derivabile in un punto x e f è una funzione derivabile nel punto g(x), allora f o g è derivabile in x
punti di non derivabilità
punto di flesso a tangente verticale
punto di cuspide
punto angoloso
derivate di ordine superiore
derivata seconda---> f''(x)=(f')'(x)
derivata terza--->f'''(x)=(f'')'(x)
derivata di ordine n
funzione derivabile nel punto x e la derivata è la somma algebrica delle derivate delle funzioni stesse
funzione derivabile nel punto x e la sua derivata è uguale alla somma tra il prodotto della derivata della prima funzione per la seconda e il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda
D[1/f(x)]= - f '(x)/[f(x)]^2
D[f(x)/g(x)] = (f '(x)g(x) - f(x)g '(x))/[g(x)]^2
somma dei prodotti della derivata di cisascuna funzione per tutte le altre non derivate
D[f(g(x))]=f '(g(x))*g '(x)
teoremi
teorema di Fermat
Teorema di Rolle
Teprema di Lagrange
Teorema della monotonia di un funzione derivabile
Teorema di Cauchy
Teorema di De l'Hopital
i limiti del rapporto incrementale esistono entrambi finiti
i limiti del rapporto incrementale sono entrambi infinito e hanno lo stesso segno
i limiti del rapporto incrementale sono entrambi infiniti, ma di segno opposto