DERIVADA Y SUS APLICACIONES
Continuidadde funciones
Gráfica de la derivada
REFERENCIA: PURCELL, EDWIN J., VARBERG, DALE; RIGDON, STEVEN E. . (2007). calculo diferencial e integral. 2007, de PEARSON EDUCACIÓN Sitio web: https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/%5BPurcell,Varberg,Rigdon%5DCalculo/%5BPurcell,Varberg,Rigdon%5DCalculo.pdf
En un intervalo
Funciones polinomiales y racionales
Continuidad en un punto
Monotonia y Concavidad
Sea f definida en in intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f es continua en c si lim f(x) = f(c) cuando x---> c
Un función polinomial es continua en todo número real c. Una función racional es continua en todo número real c en su dominio; es decir, en todas partes excepto, donde el denominador es cero.
Funciones de valor absoluto y raíz n-ésima
Operaciones con funciones
Si f y g son continuas en c, entonces tambien lo son kf, f + g,f - g,f * g, f/g (con tal que g(c) es igual o diferente 0.
La funcion f es continua por la derecha en a si lim f(x) = f(a) y continua por la izquierda en b si el lim f(x) = f(b).
La funcion valor absoluto es continua en todo numero real c. Si n es impar, la función raíz n-ésima es continua en todo el número real c, si n es par, la función raíz n-ésima es continua en todo número positivo.
La derivada f(x) proporciona la pendiente de la recta tangente a la gráfica y=f(x) en el valor de x. Por lo tanto podemos obtener la grafica aproximada de la derivada dando solo la grafica de la funcion.
Concepto
La derivada es f'(x)= lim [f(x+h)-f(x)]/h cuando h-->0 Si el límite existe, decimos que es derivable en x. Determinar una derivada recibe el nombre de derivación.
Regla de la cadena
Sea y= f(u) y u=g(x). Si g es derivable en x y f es derivavle en u= g(x), entonces la funcion compuesta f o g, definida por (f o g)(x)= f(g(x)), es deribable en x, y.
Reglas para derivar
El proceso de encontrar la derivada de una función de manera directa a partir de la definición de la derivada, esto es estableciendo el cociente de diferencia.
Maximo y minimo
Definicion
Puntos criticos
Sea f definida en un intervalo I que contiene un punto c. Si f(c) es un valor extremo, entonces c debe ser un punto critico; es decir, c es alguno de los siguientes: a) un punto fronterizo a I
b) un punto estacionario de f; es decir un punto donde f'(c)=0
c) un punto singular de f; esto es, un punto donde f'(c) no existe.
Supongamos que S, el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que:
a) F(c) es el valor máximo de f en S, si f(c) es mayor o igual a f(x) para toda x en S. b) F(c) es valor mínimo de f en S, si f(c) es menor o igual a f(x) para toda x en S.
c) F(c) es el valor extremo de f en S, si es un valor máximo o un valor mínimo.
d) la funcion que queremos maximizar o minimizar es la función objetivo.
Existencia de maximo y minimo
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo
Notación de la derivada
Discontinuidad de funciones
F tiene una discontinuidad de salto en c si lim f(x) cuando x---> c+ y lim f(x) cuando x---> c-, exiten, pero son diferentes.
F tiene una discontinuidad infinita en c si el lim f(x) = x/- cuando x---> c+ es infinito y lim f(x) = x/- cuando x---> c- esinfinito
F tiene una discontinuidad en c si el lim f(x) cuando x---> existe
Derivacion implicita