Probabilidade

noções introdutórias

O que é probabilidade ?

Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.

Espaço amostral
Possibilidades

TODOS os resultados possíveis
(Conjunto universo)

Evento
dentro do espaço amostral

é qualquer subconjunto do espaço amostral

Exemplo

Seja uma urna, contendo 3 bolas Pretas e 3 bolas Vermelhas. Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 bolas.

Diagrama de árvore do exemplo (espaço amostral):

Espaço Amostral

total de possibilidades

usa-se a análise combinatória
...... x ..... x ......

Eventos

possibilidades dentro do espaço amostral

a probabilidade de:

Evento 1: as três bolas terem a mesma cor → {(PPP), (VVV)}
A probabilidade corresponde ao total de duas chances em oito: 2/8 = 25%.

Evento 2: nas três bolas retiradas da urna, duas das bolas serem pretas → {(PPV), (PVP), (VPP)}
A probabilidade corresponde a três chances em oito: 3/8 = 37,5%.

Evento 3: as três bolas são vermelhas → {(VVV)}
Apenas uma chance de ocorrência em oito: 1/8 = 12,5%

Evento 4: o número de bolas pretas é igual ao número de bolas vermelhas → { }
Pois serão retiradas 3 bolas
(evento impossível).

Conceito

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis (equiprováveis), então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

igualmente prováveis = equiprováveis

ou seja, é DIVIDI o que se pede com o TOTAL DE POSSIBILIDADES

total de POSSIBILIDADES

EVENTO que se pede

Ex.:

em uma caixa existem 5 bolas, 2 brancas e 3 pretas.
Qual a probabilidade de se retirar 1 bola branca?

P= 2/5 =0,4

0,4. 100 = 40%

Atenção!
O resultado de uma probabilidade pode ser dado de três formas distintas:
fração, porcentagem ou percentual.

P = ..............

100% em fração = n° de cima IGUAL ao de baixo
100% em n° decimal = 1

0 = evento IMPOSSÍVEL

1 = evento GARANTIDO

Exemplos

1ª Bola: duas possibilidades (preta ou vermelha).
2ª Bola: duas possibilidades (preta ou vermelha).
3ª Bola: duas possibilidades (preta ou vermelha).
2 × 2 × 2 = 8 possibilidades distintas.

Eventos complementares
o que falta
P barra

é as possibilidades que faltam para chegar a 100%

Ex.: se tem 40% de chance de acontecer algo, 60% é o evento complementar

P = 40%
P_= 60% (P barra)

Ex.: se tem 2/5 de chance de acontecer algo, 3/5 é o evento complementar

P = 2/5
P_= 3/5 (P barra)

Eventos independentes
Se um evento acontecer, não afetará o outro

são eventos que não mudam outros eventos

Ex.: Se lançar um dado, o próximo lançamento não será afetado.

e = multiplicação = intersecção
ou = adição = união

Dicas

números múltiplos de X = eles são divisível por X
.
números primos = só tem dois divisores, o 1 e ele mesmo
ex.: 1 NÃO é primo (pois só se divide por 1)
2 É primo (divide por 1 e por 2)
3 É primo (divide por 1 e por 3)
4 NÃO é primo (divide por 1, por 2 e por 4)

Probabilidade simples

Probabilidade da UNIÃO
exclui-se a repetição

Ao lançarmos um dado honesto com seis faces, qual a probabilidade de obtermos um número múltiplo de 3 OU de 2?

Descobrindo o Evento

Descobrindo o Espaço Amostral

Lançam-se dois dados. Qual o Espaço Amostral?

6 (dado 1) × 6 (dado 2) = 36
36 possibilidades distintas

Probabilidade de um OU outro evento
Princípio Multiplicativo (E) Aditivo (OU)
Mesma cor / sexo

Extraem-se duas bolas, com REPOSIÇÃO DA PRIMEIRA, de uma caixa contendo 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Qual a probabilidade de que as bolas extraídas sejam da MESMA COR?

bolas da mesma cor, pode ser:

1 branca E outra branca OU 1 preta E outra preta
. . . . . . . . X . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . . .X
.
chances de tira da 1ª ser branca = 3/5
repôs a bola
chances de tira da 2ª ser branca = 3/5
OU
chances de tira da 1ª ser preta = 2/5
repôs a bola
chances de tira da 2ª ser preta = 2/5

caso não repusesse a 1° bola, seria:

branca = 1ª 3/5 E a 2ª 2/4
OU
preta = 1ª 2/5 E a 2ª 1/3
(iria retirar de cima e de baixo)

em multiplicação
- multiplica ENCIMA e EMBAIXO
em adição
- adição só ENCIMA

13 é o 52% (multiplicado pelo nº de vezes do debaixo)
25 é o 100% (4 vezes para 100)

descobrindo o n° total de possibilidades

usa-se a análise combinatória ⚠ ✅

..... x ..... x .....

Ao lançarmos um dado honesto com seis faces, qual a probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3?

Total de possibilidades espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . | . .| . | . | . | = 6
.
os múltiplos de 3 são 3 e 6 = 2 eventos amostrais
.
P= 2 = 1 = 0,33 (decimal) ou 33%(porcentagem)
. . . 6 . . 3

Múltiplos de 3 = {3, 6} = 2 eventos
Múltiplos de 2 = {2, 4, 6} = 3 eventos
.
o termo “ou” implica na soma dos conjuntos
- porém o "6" se repere, então se exclui essa repetição
- Pois o 6 é a intersecção dos conjuntos

Ou 66% de chance

Probabilidade de PELO MENOS um evento ⭐
Calcula o que NÃO PEDE

Aqui é mais fácil calcular o que NÃO SE PEDE❗

Na há 5 bolas: 3 brancas e 2 pretas
Retira-se 2, com a reposição da primeira
Qual probabilidade de que, pelo menos uma das bolas extraídas, seja branca?

Pelo menos uma branca = DIFÍCIL
As duas serem pretas (nenhuma branca) = FÁCIL

1° Vamo calcular as PRETAS (Fáceis)
2º vamos tirar o resultados das PRETAS do total
o que sobrou são as possibilidades de saírem BRANCAS ✅

1° Calculando as PRETAS (FÁCIL)

Como são as 2 pretas (Jeito FÁCIL) há 2 chances dentro de 5 possibilidades na PRIMEIRA retirada
2/5

REPÕE a bola, volta a ter 2 pretas

E(multiplicação) tira outra.
Há 2 chances dentro de 5 possibilidades novamente na SEGUNDA retirada
2/5

2° Tirando o resultados das PRETAS do total

são 4 chances de tirar Pretas dentro de 25 possibilidades totais

Basta subtrair as chances de tira Pretas, e o que sobra é possibilidades de sair alguma branca