Fundamentos de probabilidad
Probabilidad clásica:
Espacio finito equiparable
Concepto clásico y como
frecuencia relativa.
Axiomas y teoremas
Probabilidad condicional e independencia
Teorema de Bayes
Distribución Marginal Conjunta
Una fracción en la que el numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador es igual al número total de casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir
Frecuencia relativa Es la relación o cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones. Es la proporción entre la frecuencia de un intervalo y el número total de datos.
hi = Frecuencia relativa de la observación i-ésima
fi = Frecuencia absoluta de la observación i-ésima
N = Número total de observaciones de la muestra
son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades
AXIOMA
TEOREMA
La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1
p(d) = 1
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AÈB) = p(A) + p(B)
La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
0 £ p(A) ³ 1
Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B)
Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).
La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser
Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que
p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB).
Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.
Sea ¨D¨ un espacio muestral que contiene ´N´ elementos, d = {a1, a2, a3,....,an}, si a cada uno de los elementos de ´D´ le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, pi = 1/n por tener ´N´ elementos ´D´, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable
debe cumplir con
las siguientes condiciones
Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio
muestral deben ser mayores o iguales a cero, pi ³ 0.
La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio
muestral debe de ser igual a 1.
Sea B un evento arbitrario de un espacio muestral S con P(B)>0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que B haya sucedido, o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado B
P(A|B) = número de elementos que pertenecen tanto A como a B / número de
elementos de B.
Existen otras dos formas útiles de la definición de probabilidad condicional, que son iguales algebraicamente a la fórmula original.
Dentro de la teoría de probabilidades, dadas dos variables aleatorias juntas X&Y, la distribución marginal de X es simplemente la ley de probabilidad de X haciendo caso omiso de la información referente a Y. Este tipo de cálculo se produce cuando se considera el estudio de una tabla de contingencia
Para las variables aleatorias discretas, la ley de probabilidad marginal Pr(X=x) se
escribe
Pr(X=x,Y=y) es la distribución conjunta de X&Y, mientras que Pr(X =x| Y=y) es la distribución condicional de Xconociendo Y. Ésta es la lección principal del Teorema de la probabilidad total.
expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A
Sea un conjunto(A1, A2, A3,.....An) de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionalesP(B|A) . Entonces, la probabilidad P(A|B)
P(A),son las probabilidades a priori.
P(B|A) es la probabilidad de en la hipótesis .
P(A|B)son las probabilidades a posteriori.