Движения в курсе геометрии

Свойства движения

Две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой.

Запись F=F1 означает, что фигуры F и F1 равны.

Если существует движение, при котором фигура F1 является образом фигуры F, то обязательно существует движение, при котором фигура F является образом фигуры F1. Такие фигуры называются взаимно обратными.

Виды движений (перемещений)

Отражение от прямой (зеркальное отражение, а так же симметрия относительно прямой - осевая симметрия)

Вращательное перемещение (вращение)

Поступательно перемещение

Поворот

click to edit

Центральная симметрия (отражение от точки)

Свойства центральной симметрии

  1. Две фигуры, симметричные друг другу относительно некоторой точки, равны между собой.
  1. Центральная симметрия переводит угол в равный ему угол.
  1. При центральной симметрии луч переходит в луч, полуплоскость в полуплоскость.
  1. Центральная симметрия переводит отрезок в отрезок.
  1. При центральном симметрии центр симметрии неподвижен.
  1. При центральной симметрии середина отрезка переходит в середину отрезка.
  1. При центральной симметрии плокскости прямая, не проходящаячерез центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

Определение

Центральной симметрией R с центром O называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку R переводит в точку R', что отрезок RR' в точку O делиться пополам.

Осевая симметрия (отражение от прямой)

Свойства осевой симметрии

  1. При осевой симметрии параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
  1. При осевой симметрии луч переходит в луч, полуплоскость - в полуплоскость.
  1. При осевой симметрии отрезок переходит в отрезок.
  1. Точки, которые лежат на прямой, при осевой симметрии переходят в точки, которые лежат на прямой, при этом сохраняется порядок их взаимного расположения.

Определение

Осевой симметрией с осью t называется преобразование плоскости на себя, которое каждую точку A плоскости переходит в такую точку A' , что прямая t служит серединным перпендикуляром к отрезку AA' и делит его пополам. Пряма t называется осью симметрии.

Параллельный перенос

Свойства параллельного переноса

  1. Фигура F' , получающаяся из данной окружности F с помощью параллельного переноса, представляет собой окружность, равную окружности F. Центр окружности F' получается из центра окружности F с помощью того же параллельного переноса.
  1. Фигура F', получающаяся из фигуры F параллельным переносом, равна фигуре F.
  1. При параллельном переносе S на m плоскости всякая плоскость параллельная вектору m остается на месте.
  1. При параллельном переносе угол переходит в равный ему угол.
  1. Параллельный перенос переводит отрезок в равный ему отрезок.
  1. Каковы бы ни были две точки A и A', существует притом единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A'.

Определение

Параллельным переносом на вектор m называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка S отображается в такую точку S1, что вектор SS1=m. Параллельный перенос является движением, то есть отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояние.

Свойства поворота

  1. Поворот плоскости имеет одну неподвижную точку- центр поворота.

Определение

Поворотом плоскости вокруг точки О на направленный угол a называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку C плоскости переводит в точку С', что OC=OC' и направленный угол COC' равен a.

  1. При повороте вокруг данной точки на заданный направленный угол параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
  1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол отрезок переходит в равный ему отрезок.
  1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость.