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STATISTICA BAYESIANA - Coggle Diagram

- - - - 1/k uniforme se Θ è limitato
      - Impropria se Θ è infinito: π(θ) = 1
    - - π_j(θ) prop sqrt{ Ia(θ)}
      - Ia(θ) inf attesa di Fisher
      - Invariante
    - - distr con elevata varianza
  - - - f(λ, θ) = exp{θλ - C(θ)} - D(x)
      - π(θ) prop exp{η1θ - η2C(θ)}
      - π(θ|x) ~ (η1 + sum xi, η2 + n)
  - - - 1: Riparametrizzo
      - 2: Elicito
    - - 1: Elicito
      - 2: Riparametrizzo
        
        π*(λ) = π(g^-1(λ)) | dg^-1(λ) / dλ |
  - - - Esperto di dominio
    - - 1: π(θ|α)
      - 2: π(α)
      - 3: π(θ) = int π(θ|α)π(α) dα
    - - da h(x) a α0
      - Uso il campione
      - Non coerente con procedere bayesiano
- - - - K[L(θ,a)] = int L(θ,a) π(θ)dθ
    - - K[L(θ,a)] = E[L(θ,a)] + αVar[L(θ,a)]
    - - K[L(θ,a)] = P{ θ: L(θ,a) > λ}
  - - - Assoluta
      - Lineare
      - Pesata
  - - - l quadratica
        
        Media a posteriori
      - l assoluta
        
        Mediana a posteriori
      - l lineare asimmetrica
        
        quantile k0/(k0+k1)
      - l 0/1
        
        Moda a posteriori
    - - HPD
      - EHPD
- - - - m(x) non necessario
      - π(θ|x) ~ N(θ#, Σ#)
      - θ# moda
      - Σ# = [-d^2 log π(θ|x)/ dθiθj]^-1_θ=θ#
      - θ - θ# ~ N(0, Σ#)
    - - m(x) non necessario
      - Sviluppo di Taylor
      - exp{nh(θ)} / exp{nh*(θ)}
  - - - 1: Estrarre g(θ1),......, g(θm) campioni MC
      - 2: Calcola media campionaria g-m
      - IC con var g-m
    - - Estrarre θ'1,......,θ'm da h(θ)
      - h(θ) stesso supporto posterior
      - ωi = π(θ'|x) / h(θ'i)
      - I pesi bilanciano h verso la posterior
      - g-m = 1/m sum ωig(θ'i)
    - - Generare CMO della posterior
      - Burn-in period
        
        m osservazioni buttate
        
        Tengo tra m e m + n oss
      - Gibbs Sampling
        
        θ =(θ1,......,θd)
        
        Esistono le full conditionals
        
        π(θi |θ1,......,θd)
        
        Algoritmo
        
        1: inizializzo la catena
        
        2: aggiorno usando le full conditionals
        
        3: Ripeto 1 e 2 m+n volte
      - Metropolis
        
        Catena reversibile
        
        α(θ, θ')
        
        Algoritmo
        
        1: si inizializza θ0
        
        2: si genera θ' da proposal
        
        3: accetto θ' in base a α(θ, θ')
        
        4: Ripeto
        
        Algoritmo accettazione rifiuto
        
        Tipologie
        
        Hastings
        
        q(θ, θ') sul supporto posterior
        
        RW
        
        θ' = θ + x
        
        Independent
        
        h(θ') non dip dal candidato precedente
- - - - B(H0|x) < k0P(H1) / k1P(H0)
      - se fattore di Bayes a favore di H0 è troppo piccolo
- - - - Indice di sintesi distr post
      - Media/mediana/moda(θ|x)
    - - HPD
        
        Sh : {θ Ε Θ : π(θ|x) >=h}
        
        Sh : P(θ Ε Sh|x) = 1 - α
      - CS
        
        Intervallo nella distr a posteriori
        
        Come IC nella classica
  - - - Predittiva finale
      - Int { f'(x'|θ) π(θ|x) dθ }