Progressões
Aritméticas
Geométricas
Termo Geral
A(n) = A(p) + R*(n-p)
n, p ⊂ N*
Formula da Soma de termos
S(n) = n*(A(1)+A(n))/2
Ideia por traz da formula:
Ela tem como base a realização de que A(1)+A(n)=A(2)+A(n-1)...
Termo Geral
A(n) = A(p)*q^(n-p)
R é o coeficiente linear, tal que, por exemplo, A(3) = A(1) + 2*R
"q" é a razão, tal que, por exemplo, A(5) = A(1)*q^4
Uma progressão é considerada aritmética se e somente se A(n) = A(n-1) + R for verdade para qualquer n . Em outras palavras, A(n) - A(n-1) = A(n-1) - A(n-2). (Isso é, se a função for definida)
Uma progressão é considerada geométrica se e somente se A(n) = q*A(n-1). Em outras palavras,
A(n)/A(n-1)=A(n-1)/A(n-2). (Isso é, se a função estiver definida)
Formula da Soma dos termos:
S(n)=A(1)*(q^n-1)/(q-1)
A ideia por traz da demonstração dessa formula é a realização de que, se você multiplicar a soma dos termos (A(1)+A(1)q...+A(1)q^(n-1)) por q e subtrair pela sua versão original, os termos intermediários irão se cancelar.
Em diversos exercícios que involvem a soma dessas somas, é muito util utilizar uma progressão que cancele o R. Como, por exemplo: (X-R, X, X+R).
Termo médio
Termo médio
sqrt(A(n-k)*A(n+k))
(A(n-k)+A(n+k))/2
Soma infinita
S = A(n)/(1-q)
Formula do produto
Demonstração:
Multiplicando todos os termos de uma PG, é trivial que ele seria igual a A(1)^n * q^x
Para achar x, basta entender que ele é a soma dos poderes da PG ou seja, é uma PA. Aplicando a formula da soma para a PA 0+1+2+3+4+...+n-1, chegamos no resultado da imagem
Representação genérica
Uma técnica para eliminar uma variável em questões que pedem o produto de uma PG é fazer com que a razão se cancele no processo.
Exemplos:
PG de 3 elementos: (A(1)/q, A(1), A(1)*q)
PG de 4 elementos: (A(1)/q^2, A(1)/q, A(1)q, A(1)q^2)
Representação genérica
Uma técnica para eliminar uma variável em questões que pedem a soma de uma PA é fazer com que a razão se cancele no processo.
Exemplos:
Com 3 elementos: (A(1)-R, A(1), A(1) + R)
Com 4 elementos: A(1)-2R, A(1)-R, A(1)+R, A(1)+2R
Outras propriedades:
Se pegarmos a média aritmética de A(n-1) e A(n+1), conseguiremos A(n).
Termos equidistantes do centro tem a mesma soma
Outras propriedades:
Em uma P.G. com número ímpar de termos(para que exista um termo médio na sequencia), o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos.
Muito como PAs, o produto de termos equidistantes do centro são iguais