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Progressões - Coggle Diagram
Progressões
Geométricas
Termo Geral
A(n) = A(p)*q^(n-p)
"q" é a razão, tal que, por exemplo, A(5) = A(1)*q^4
Uma progressão é considerada geométrica se e somente se A(n) = q*A(n-1). Em outras palavras,
A(n)/A(n-1)=A(n-1)/A(n-2). (Isso é, se a função estiver definida)
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Formula do produto
Demonstração:
Multiplicando todos os termos de uma PG, é trivial que ele seria igual a A(1)^n * q^x
Para achar x, basta entender que ele é a soma dos poderes da PG ou seja, é uma PA. Aplicando a formula da soma para a PA 0+1+2+3+4+...+n-1, chegamos no resultado da imagem
Representação genérica
Uma técnica para eliminar uma variável em questões que pedem o produto de uma PG é fazer com que a razão se cancele no processo.
Exemplos:
PG de 3 elementos: (A(1)/q, A(1), A(1)*q)
PG de 4 elementos: (A(1)/q^2, A(1)/q, A(1)q, A(1)q^2)
Outras propriedades:
Em uma P.G. com número ímpar de termos(para que exista um termo médio na sequencia), o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos.
Muito como PAs, o produto de termos equidistantes do centro são iguais
Aritméticas
Termo Geral
A(n) = A(p) + R*(n-p)
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R é o coeficiente linear, tal que, por exemplo, A(3) = A(1) + 2*R
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Uma progressão é considerada aritmética se e somente se A(n) = A(n-1) + R for verdade para qualquer n . Em outras palavras, A(n) - A(n-1) = A(n-1) - A(n-2). (Isso é, se a função for definida)
Em diversos exercícios que involvem a soma dessas somas, é muito util utilizar uma progressão que cancele o R. Como, por exemplo: (X-R, X, X+R).
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Representação genérica
Uma técnica para eliminar uma variável em questões que pedem a soma de uma PA é fazer com que a razão se cancele no processo.
Exemplos:
Com 3 elementos: (A(1)-R, A(1), A(1) + R)
Com 4 elementos: A(1)-2R, A(1)-R, A(1)+R, A(1)+2R
Outras propriedades:
Se pegarmos a média aritmética de A(n-1) e A(n+1), conseguiremos A(n).
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