Progressões

Aritméticas

Geométricas

Termo Geral

A(n) = A(p) + R*(n-p)

n, p ⊂ N*

Formula da Soma de termos

S(n) = n*(A(1)+A(n))/2

Ideia por traz da formula:

Ela tem como base a realização de que A(1)+A(n)=A(2)+A(n-1)...

Termo Geral

A(n) = A(p)*q^(n-p)

R é o coeficiente linear, tal que, por exemplo, A(3) = A(1) + 2*R

"q" é a razão, tal que, por exemplo, A(5) = A(1)*q^4

Uma progressão é considerada aritmética se e somente se A(n) = A(n-1) + R for verdade para qualquer n . Em outras palavras, A(n) - A(n-1) = A(n-1) - A(n-2). (Isso é, se a função for definida)

Uma progressão é considerada geométrica se e somente se A(n) = q*A(n-1). Em outras palavras,
A(n)/A(n-1)=A(n-1)/A(n-2). (Isso é, se a função estiver definida)

Formula da Soma dos termos:

S(n)=A(1)*(q^n-1)/(q-1)

A ideia por traz da demonstração dessa formula é a realização de que, se você multiplicar a soma dos termos (A(1)+A(1)q...+A(1)q^(n-1)) por q e subtrair pela sua versão original, os termos intermediários irão se cancelar.

Em diversos exercícios que involvem a soma dessas somas, é muito util utilizar uma progressão que cancele o R. Como, por exemplo: (X-R, X, X+R).

Termo médio

sqrt(A(n-k)*A(n+k))

(A(n-k)+A(n+k))/2

Soma infinita

S = A(n)/(1-q)

Formula do produto

Demonstração:

Multiplicando todos os termos de uma PG, é trivial que ele seria igual a A(1)^n * q^x

Para achar x, basta entender que ele é a soma dos poderes da PG ou seja, é uma PA. Aplicando a formula da soma para a PA 0+1+2+3+4+...+n-1, chegamos no resultado da imagem

Representação genérica

Uma técnica para eliminar uma variável em questões que pedem o produto de uma PG é fazer com que a razão se cancele no processo.

Exemplos:

PG de 3 elementos: (A(1)/q, A(1), A(1)*q)

PG de 4 elementos: (A(1)/q^2, A(1)/q, A(1)q, A(1)q^2)

Representação genérica

Uma técnica para eliminar uma variável em questões que pedem a soma de uma PA é fazer com que a razão se cancele no processo.

Exemplos:

Com 3 elementos: (A(1)-R, A(1), A(1) + R)

Com 4 elementos: A(1)-2R, A(1)-R, A(1)+R, A(1)+2R

Outras propriedades:

Se pegarmos a média aritmética de A(n-1) e A(n+1), conseguiremos A(n).

Termos equidistantes do centro tem a mesma soma

Outras propriedades:

Em uma P.G. com número ímpar de termos(para que exista um termo médio na sequencia), o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos.

Muito como PAs, o produto de termos equidistantes do centro são iguais