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Relações - Coggle Diagram

- - - - ρ ser transitiva significa que (∀x)(∀y)(∀z)(x ∈ S ^ y ∈ S ^ z ∈ S ^ (x,y) ∈ ρ ^ (y,z) ∈ ρ → (x,z) ∈ ρ)
      - ρ ser anti-simétrica significa que (∀x)(∀y)(x ∈ S ^ y ∈ S ^ (x,y) ∈ ρ ^ (y,x) ∈ ρ → x = y)
      - ρ ser reflexiva significa que (∀x)(x ∈ S → (x,x) ∈ ρ)
      - ρ ser simétrica significa que (∀x)(∀y)(x ∈ S ^ y ∈ S ^ (x,y) ∈ ρ → (y,x) ∈ ρ)
      - Exemplo1
        
        Considere a relação ≤ no conjunto N.
        Reflexiva? Sim ou Não
        Transitiva? Sim ou Não
        Simétrica? Sim ou Não
        Anti-simétrica? Sim ou Não
      - Exemplo 2
        
        Seja S = {1,2,3}
        a) se uma relação ρ em S é reflexiva, que pares ordenados têm que pertencer a ρ?
        
        b) Se uma relação ρ em S é simétrica, que pares ordenados têm que pertencer a ρ?
        
        c) Se uma relação ρ é simétrica e se (a,b) ∈ ρ, que outro par ordenado tem que pertencer a ρ ?
        
        d) Se uma relação ρ em S é anti-simétrica e se (a,b) e (b,a) pertencem a ρ, o que tem que ser verdade?
        
        e) A relação ρ = {(1,2)} em S é transitiva?
    - - Considerando S como o conjunto das tarefas, podemos definir uma ordem parcial (ρ) em S x S por x ≤ y ou a tarefa x é pré-requisito para a tarefa y.
        É fácil ver a ordem parcial pois é:
        Reflexiva: significa que (∀x)(x ∈ S → (x,x) ∈ ρ)
        neste caso, toda tarefa tem ela mesma como pré-requisito
        Transitiva: significa que (∀x)(∀y)(∀z)(x ∈ S ^ y ∈ S ^ z ∈ S ^ (x,y) ∈ ρ ^ (y,z) ∈ ρ → (x,z) ∈ ρ)
        neste caso, se Tarefa 1 precede Tarefa 2 e Tarefa 2 precede Tarefa 3, então Tarefa 1 precede Tarefa 3
        Anti-simétrica: (∀x)(∀y)(x ∈ S ^ y ∈ S ^ (x,y) ∈ ρ ^ (y,x) ∈ ρ → x = y)
        neste caso, se Tarefa 1 precede Tarefa 2,o inverso não é verdadeiro, a menos que sejam a mesma tarefa