ДИНАМИКА

Введение в динамику, законы динамики

Основные понятия

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение
материальных тел под действием сил.

Сила - количественная мера механического взаимодействия тел (точек).

Сила может быть постоянной, зависеть от времени, положения тела и его
скорости.

Активная (заданная) сила

Активной называется сила, которая, начав действовать на покоящееся
тело, может привести его в движение.

Реактивная сила (реакция связи)

Реактивной часто называют силу реакции связи (реакцию связи).

Инертность

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при
отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то
скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно, и тем медленнее,
чем больше инертность этого тела.

Мера инертности

Количественной мерой инертности материального тела является
физическая величина, называемая массой тела.

В классической механике масса т рассматривается как величина скалярная,
положительная и постоянная для каждого данного тела.

Материальная точка

Материальная точка – это точка, обладающая массой

Материальное тело можно рассматривать как материальную точку в тех
случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание
вращательную часть движения тела.

Задачи динамики

Для свободной материальной точки

1 задача

Зная закон движения точки и массу, определить действующую на
нее силу.

2 задача

Зная действующие на точку силы, определить закон движения
точки (основная задача динамики).

Для несвободной материальной точки.

1 задча

обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и
действующие на нее активные силы, определить реакцию связи;

2 задача

распадается на две и состоит в том, чтобы,
зная действующие на точку активные силы, определить:
а) закон движения точки,
б) реакцию наложенной связи.

Аксиомы динамики

Закон инерции: Мат. точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние

Основной закон инерции : Ускорение мат. точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление

Закон независимости действия сил: Несколько одновременно действующих на мат. точку сил, сообщают ей такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геом. сумме

Закон равенства действия и противодействия: Всякому действию соответствует равное и противоположное направленное противодействие

Принцип возможных перемещений общее уравнение динамики

Общие теоремы динамики точки

Теорема об изменении количества движения точки. ⭐

Производная по времени от количества движения
точки равна сумме действующих на нее сил

2. Теорема об изменении момента количества движения точки
(теорема моментов)

Теорема моментов относительно центра 🔥

Теорема моментов относительно оси 🎉

Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра

Следствие из теоремы моментов 🏴

Если момент действующей силы относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная.

Теорема об изменении кинетической
энергии материальной точки ❤

Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе всех сил, действующих на точку :

Кинетической энергией материальной точки
называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости

Интегрируем

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно сумме работ сил, действующих на точку на этом же перемещении

Мощность

Физический смысл

При равномерной работе мощность N = A / t1, где t1 – время, в течение которого произведена работа А.

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершенную силой за единицу времени.
N = dA / dt = Fτ ds / dt = Fτ V.

Вывод. Мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.

Работа силы

Физический смысл.Работа характеризует действие силы на тело при некотором его перемещении.

Элементарная работа силы. Элементарной работой силы F,приложенной в точке М, называется скалярная величина dA = Fτ ds, где Fτ – проекция силы F на касательную Мτ к траектории точки М, ds – модуль элементарного перемещения точки М

Другие выражения для элементарной работы силы.

а) dA = F ds cosα

Если угол α острый, то dA > 0;

если тупой - dA < 0;

если α = 90 гр., то dA = 0.

Если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

б) Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на
вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

в) Аналитическое выражение элементарной работы.

где х, у, z - координаты точки приложения силы F

Системы едениц

Первый тип

Второй тип

Такой системой является Международная система единиц измерения
физических величин (СИ).В ней основными единицами измерения механических
величин являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единица
измерения силы - производная единица — 1 ньютон (Н).

В этих системах за основные принимаются единицы длины, времени и силы,
а масса измеряется производной единицей.К таким системам относится имевшая большое распространение в технике
система МКГСС, в которой основными единицами являются метр (м), килограмм
силы (кГ) и секунда (с).

Связь - любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы

Возможные перемещения - любая совокупность элемент. перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями

Стационарные - связи, не изменяющиеся со временем

Нестационарные - связи, изменяющиеся со временем

Геометрические - связи, налагающие ограничения на положение (координаты) точек системы

Голономные - геометрические и интегрируемые диф. связи

Кинематические (Дифференциальные) - связи, налагающие ограничения на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы

Неголономные - неинтегрируемые диф. связи

Удерживающие - связи, которые накладывают ограничения, сохран. при любом положении системы

Неудерживающие - связи, которые этими свойствами не обладают ( от таких связей система может "освобождаться")

Обозначаются символом δ

Число степеней свободы - число независимых между собой возможных перемещений мех. системы

Возможная работы силы - элемент. работа, которую действ. на мат. точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки δAa =F* δr.

Идеальные связи - связи, для которых элемент. работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю ∑δА=0

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Для равновесия мех. системы с идеальными стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элемент. работ всех действ. на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю ∑δА=0

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА

При движении мех. системы с идеальными стационарными связями в каждый момент времени сумма элемент. работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю ∑δАa+∑δАu=0

Принцип Даламбера

Для мат. точки

Сила инерции точки - векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно этому ускорению Fu=- ma.

Если в любой момент времени к действ. на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной Fa + N + Fи = 0.

Для мех. системы

Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действ. на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил буде уравновешенной и к ней можно применять все уравнения равновесия статики

Потенциальное силовое поле

Потенциальное силовое поле. Динамика твердого тела

Силовое поле и силовая функция

Область, в каждой точке которой на помещенную туда частицу действует сила, зависящая от положения (координат) этой точки называется силовым полем.

Проекции силы на ось для силового поля. Для силового поля, исходя из его свойств, проекции силы на ось являются функциями координат точки х, у, z, то есть

Потенциальное силовое поле

Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем, а силы, действующие в этом поле, - потенциальными силами.

Основным свойством потенциального силового поля является то, что работа сил поля при движении в нем материальной точки зависит только от начального и конечного положений этой точки, ни от вида ее траектории, ни от закона движения не зависит.

Силовая функция в потенциальном силовом поле

Потенциальная энергия точки и системы

Силовая функция

Вывод. Силовая функция находится из равенства

Силовые функции некоторых потенциальных полей

Для поля сил тяжести. Если ось z направлена вертикально вверх, то dA = - Pdz, откуда, считая U = 0 при z = 0, находят U = - P z Для поля силы упругости, действующей вдоль оси Ох, dA = - c x, откуда, считая U = 0 при х= 0, находят U = (- с х^2)/2

Выражение проекций силы через силовую функцию

Силовая функция системы материальных точек

Для системы материальных точек дифференциал силовой функции, зависящей от координат точек системы, равен сумме элементарных работ всех действующих на систему сил поля, т. е.

Вывод. В потенциальном силовом поле проекции силы на координатные оси равны частным производным от силовой функции по соответствующим координатам, т. е.

Вывод. Потенциальная энергия П зависит от координат х, у, z точки М, т. е. П = П (х, у, z).

Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое П = А(МО) .

Физический смысл потенциальной энергии точки
Это величина, характеризующая «запас работ», которым обладает материальная точка в данном пункте силового поля.

Связь потенциальной энергии точки с силовой функцией. Вывод. Потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком, т. е.
П(х,у,z) = – U(x,у,z). Вывод. При рассмотрении всех свойств потенциального силового поля можно пользоваться понятием потенциальной энергии.

Динамика твердого тела

Дифференциальные уравнения поступательного движения тела

Вывод. При поступательном движении твердого тела все его точки
движутся так же, как и его центр масс. Поэтому дифференциальные уравнения движения центра масс являются дифференциальными движения поступательного движения твердого тела:

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела

Дифференциальное уравнение колебаний
маятника

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Главный вектор сил инерции системы- геом. сумма сил инерции точек системы

Равен произведению массы системы на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению

Главный момент сил инерции отн. центра - геом. сумма моментов сил инерции точек системы отн. того же центра

Производная по времени от кинетического момента системы отн. того же центра или оси

Механическая система

Система мат. точек или тел, движение (или равновесие) которой рассматривается

Внешние силы - силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в состав данной системы Fe

Внутренние силы - силы, с которыми точки и тела данной системы действуют друг на друга Fi

СВОЙСТВА

Геом. сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю ∑Fi=0

Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы равняется нулю ∑ mFi=0

Масса системы равна арифм. сумме масс всех точек или тел, образующих систему M=∑m

Центр масс - геом. точка С, координаты которой определяются формулами xc=1/M∑mx yc=1/M∑my zc=1/M∑mz