DERIVACIJA

TANGENTA I NORMALA NA GRAF FUNKCIJE

PROBLEM TANGENTE I BRZINE 📐

DERIVACIJA FUNKCIJE. PRAVILA DERIVIRANJA.

DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE

NAGIB GRAFA FUNKCIJE

TANGENTA NA GRAF FUNKCIJE

Nagib grafa funkcije f u točki (x0, y0) →
nagib tangente položene na graf u toj točki.

On je jednak koeficijentu smjera k tangente

k = tg α

Do tangente možemo doći ako je zamijenimo sekantom

Dobivanje tangente - Geogebra

DERIVACIJA FUNKCIJE

Derivacija funkcije

Da bi funkcija imala derivaciju u nekoj točki, ona mora biti neprekinuta (u toj točki)

Računanje derivacija

  1. Izračunamo Screenshot_4
  1. Izračunamo kvocijent Screenshot_5

Izračunamo limes Screenshot_6

Derivacija konstante

Ako je c konstanta, a f derivabilna funkcija

(c)' = 0

(cf)' = c · f'

Derivacija potencije

Funkcija Screenshot_7 ima derivaciju

Screenshot_8

Derivacija funkcije f (x) = 1/x
Screenshot_9

PRAVILA DERIVIRANJA

Slika funkcije 1/x - Geogebra

Derivacija zbroja Screenshot_11

Derivacija umnoška Screenshot_12

Derivacija Screenshot_13

Derivacija potencije s negativnim eksponentom Screenshot_14

Derivacija trigonometrijskih funkcija

Screenshot_15

Screenshot_16

Screenshot_19

Screenshot_18

Derivacija funkcije sinus - Geogebra

Derivacija funkcije kosinus - Geogebra

Derivacija funkcije kotangens - Geogebra

Derivacija funkcije tangens - Geogebra

Derivacije višeg reda

Screenshot_21

Primjeri prvih 5 derivacija

DERIVACIJA SLOŽENE FUNKCIJE

Pravilo o ulančanom deriviranju Screenshot_23

Screenshot_24

Screenshot_25

Screenshot_26

Screenshot_27

Screenshot_28

Screenshot_29

Screenshot_30

Screenshot_31

Ako su y = f (x) i x = g (y) međusobno inverzne funkcije

Screenshot_32 ,y = f(x)

Derivacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Screenshot_33

Screenshot_34

Screenshot_35

Screenshot_36

Screenshot_37

Screenshot_38

Jednadžbe tangente i normale

Screenshot_39

Screenshot_40

Normala je pravac okomit na tangentu

PAD I RAST FUNKCIJE. EKSTREMI.

Ako za svaki x iz intervala <a,b> vrijedi f'(x)>0, onda funkcija f raste na intervalu <a,b>

Ako za svaki x iz intervala <a,b> vrijedi f' (x)<0, onda funckija f pada na intervalu <a,b>

Nalaženje stacionarnih točaka i intervala monotonosti

  1. Izračunamo derivaciju f'
  1. Riješimo jednadžbu f'(x) = 0 → stacionarne točke
  1. Stac.t. područje definicije podijeljeno je na intervale monotonosti. Predznacima određujemo intervale rasta/pada.

Primjer i tablica rasta i pada - Geogebra

Minimum i maksimum (ekstremi)

Screenshot_42 Lokalni minimum

Screenshot_43
Lokalni maksimum

Fermatov teorem

Ako funkcija f poprima u zadanoj točki lokalni ekstrem i ako f ima derivaciju u toj točki, onda vrijedi Screenshot_44

Nužan uvjet za globalni ekstrem

Na intervalu [ a,b] funkcija može poprimiti ekstrem samo u točkama u kojima je:

derivacija jednaka nuli

derivacija ne postoji

u krajevima intervala

Ispitivanje karaktera ekstrema pomoću druge derivacije

MINIMUM Screenshot_45

MAKSIMUM Screenshot_46

Točka pregiba

Točka b konveksna

Točka B konkavna

TIJEK FUNKCIJE