Didactique de la pensée algébrique
GÉNÉRALISATION
Permet de passer d'un état particulier à un état général.
Pour dire que c'est toujours vrai, faut trouver une façon de la généraliser (avec des variables) et pas seulement avec des exemples.
Processus essentiel dans la construction des savoirs math, surtout en algèbre.
Permet d'avoir une idée générale du pb pour se représenter la sit.
Généraliser c'est découvrir un processus qui conduit à
À ce qui semble vraisemblable (conjecture)
Au pourquoi cela semble vraisemblable (justification)
Là où cela semble vraisemblable, c'est-à-dire à un énoncé plus général du pb ( un autre pb)
Permet de faire apparaitre le cheminement sous-jacent afin de découvrir ce qu'il y a de commun.
GÉNÉRALISATION PAR RÉPÉTITION
Raisonnement inductif : part d'observations particulières pour aboutir à une conclusion générale.
GÉNÉRALISATION PAR RÉPÉTITION GUIDÉE
Raisonnement déductif : part d'une idée générale pour en déduire des propositions particulières.
GÉNÉRALISATION À L'AIDE DE LA VISUALISATION
GÉNÉRALISATION À L'AIDE D'UN EXEMPLE GÉNÉRIQUE
STRATÉGIES POUR VOIR UNE GÉNÉRALISATION
INDUCTION NAÏVE : Recherche l'inconnu. Est basé sur un seul cas. L'analyse est incorrecte la plupart du temps.
GÉNÉRALISATION ARITHMÉTIQUE: Capable d'identifier le point commun de plusieurs termes par rapport aux patterns qui sont rapprochées, mais incapable quand ils sont éloignées.
GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE : Établir des relations qui sont proches ou éloignées parce qu'on est capable de faire des généralités.
TYPES DE RAISONNEMENTS POUR LA GÉNÉRALISATION
DIFFICULTÉS LIÉES À LA GÉNÉRALISATION
Justification par un argument intellectuel et non par des vérifications empiriques.
Majorité ne voit pas la généralisation implicite des expressions algébriques incluant des variables.
Comprendre qu'un seul contre-exemple suffit à réfuter une hypothèse.
Arriver à voir le général dans le particulier.
Arriver à changer de point de vue pour voir la généralisation.
RÉSOLUTION PROBLÈME
Problèmes de TAUX : Liens entre deux grandeurs homogènes exprimé à l'aide d'un taux.
Total connu
b
c
a
b vers c
a vers b
Problème à structure algébrique DÉCONNECTÉ. Connait les relations ente les « personnes ». (Relations entre 1-2 et 2-3). Tu opères sur des données inconnues.
Total connu
a
c
b
a vers b
b vers c
Problème à structure arithmétique CONNECTÉ. Connait les relations pour au moins un personne.Tu opères sur des données connues.
Problèmes de TRANSFORMATION : Une transfo est effectuée sur une donnée de départ donnant lieu à un nouvel état.
Problèmes de COMPARAISON : une quantité est exprimée en regard de différentes parties et il y a présence de relation de comparaison.
PB DE TYPE « SOURCE » : Ayant un seul générateur. Les deux relations ont la même source.
PB DE TYPE DE « COMPOSITION » DE RELATION : J'ai une personne au départ, je connais la relation entre a et b et celle de b et c.
PB DE TYPE « PUITS » : Les deux relations mènent à la même personne (c).
198
a
b
c
a vers c = x 6
b vers c = x 3
380
b
a
c
a vers b = x3
b vers c = + 114
198
b
a
c
a vers b = x2
a vers c = x6
ÉVALUER LA COMPLEXITÉ
1) Le NOMBRE de relation de comparaison impliquées. Une seule = pb simple. Plus d'une = pb + complexe
2) La NATURE des relations : additives, multiplicatives, additives ET multiplicatives ou multiplicatives ET additives.
3) L'ENCHAINEMENT des relations (du + simple au + complexe) : pb de type «source», pb de type « composition de rel» et pb de type « puits ».
RAISONNEMENTS
LANGAGE ALGÉBRIQUE
RAISONNEMENTS ARITHMÉTIQUES : L'élève travaille avec les données connues
RAISONNEMENTS ALGÉBRIQUES : L'élève opères sur les données inconnues.
INTERPRÉTATION DES LETTRES
DIFFICULTÉS LIÉES À L'UTILISATION DE LA LETTRE
INTERPRÉTATIONS DU SIGNE ÉGAL : La signification du = en algèbre peut être différente de celle en arithmétique.
- L'élève prend les données du pb comme point de départ : les manipules et arrive à résultat. Toutes les relations ne sont pas considérées par l'élève.
- L'élève procède par essaie-erreurs ou essaies numériques : avec ou sans ajustement.
- L'élève élimine d'abord l'écart ente les données pour ensuite réaliser un partage équitable .
- L'élève prend en compte la structure du pb . Il a une vue globale sur le pb et maitrise bien les relations reliant les données entre elles. raisonnement analytique : « tremplin » vers le raisonnement algébrique.
- L'élève entre dans la résolution avec une inconnues et les autres sont exprimées en fit de celle-ci. Pour un même pb il existe plusieurs possibilités de résolution selon le choix d l'inconnue.
- L'élève entre dans la résolution pb avec deux inconnues (ou +) : Il y a plusieurs possibilités et niveaux de complexité selon le choix de l'inconnue.
PB MOYENS : pb déconnectés avec une composition de relation, pb de taux
PB COMPLEXES: pb de type « puits» et pb de transformation.
PB SIMPLES : pb connectés, pb déconnecté avec une seule comparaison et pb déconnecté de type «source»
Relation d'égalité est une rel. d'équivalence qui vérifie trois propriétés.
1) Elle est réflexive : a = a
2) Elle est symétrique : si a = b alors b = a
3) Elle est transitive : si a = b et b = c alors a = c
INTERPRÉTATIONS EN ALGÈBRE
1) Désigne le même élément d'un ensemble
2) Désigne une équivalence comme dans : 2(a + b) = 2a + 2b. Tu ne peux pas trouver la valeur du a et du b.
3) Désigne une qualité restrictive : 7x - 4 = 28x + 12. Tu peux trouver la valeur de l'inconnue.
4) Désigne une égalité fonctionnelle (faisant intervenir des variables): y = 2x - 1
DIFFICULTÉS D'INTERPRÉTATION DU SIGNE =
Vu comme EXÉCUTION D'UN CALCUL : N'accepte pas que l'opération soit à droite.
Vu comme idée de « MÊMETÉ » : accorder au = le sens de est « pareil que » ou est la « même chose que ».
Vu comme une RÉPONSE NUMÉRIQUE SIMPLE : n'accepte pas qu'une opération soit égale à une autre.
Lettre comme VARIABLE
Lettre comme INCONNUE
une valeur : x + 2 = 0
plusieurs valeurs
une infinité de valeurs dans l'ensemble des réelles
aucune valeur dans l'ensemble des réelles.
Lettre comme PARAMÈTRE
Lettre comme une CONSTANTE
- Variables qui changent en fonction d'un autre ( y = 3x - 2 )
- Variable indépendante (x)
- Variable dépendant (y)
Présent dans différents contexte e la vie réelle (ex : salaire)
y = ax + b
a et b sont des paramètre : des lettres pouvant prendre potentiellement différentes valeurs, mais qui sont considérées momentanément constantes.
Représente une quantité spécifique.
Vue comme un objet concept
Valeur de la lettre associée à un nombre spécifique
Refus d'accepter que deux lettres différents aient la même valeur.
Erreur de concaténation
Erreurs liés à l'utilisation des parenthèses
Détachement du signe « moins »
Ne tient pas compte de la priorité des opérations.
Refus de laisser une opération en suspend. Vouloir tous résoudre alors il fusionne les variables/opérations.
Ne tient pas compte du signe « - » rattaché au nombre lors de la résolution.
Conflits liés à l'utilisation des conventions. La lettre associé à la première lettre d'un mot.
Tenance à exécuter le calcul comme en arithmétique. e = 5e lettre de l'alphabet.
Tendance à affecter une valeur spécifique et singulière à une lettre.
OUTIL D'ÉTUDE DE RELATIONS FONCTIONNELLES.
Une fonction est une règle qui définit, de manière unique. Comment la 1ère variable (indépendante) influence sur une 2e variable (dépendante)
Permet de travailler le langage algébrique.
Peut être travaillé avec les résolutions pb.
MODES DE REPRÉSENTATIONS
Représentation géométrique : graphe, histogrammes, dessins
Représentation numérique: table de valeurs, couple de valeurs..
Représentation contextuelle: verbale, écriture, situation-pb, pb
Représentation algébrique : écriture symbolique de la règle de la fonction.
Mises en garde et difficultés
Par rapport à la situation
Par rapport à la table de valeurs
Par rapport au graphique
- S'interroger sur les grandeurs misent en relation
- Le domaine (étendue de la variable x) est une notion souvent négligé, mais indispensable.
- Une situation comporte toujours des limites physiques.
- L'échelle joue une rôle primordial.
- Dans quel contexte on relie les points d'une graphique ? Dans quel contexte on les relies pas ?
- Bcp de rel/fonction de la vie courante sont du premier degré. Certains élèves croient que toutes situations sont une droite.
- Une relation de type x = constante ou y = constante représente une difficulté pour l'élève.
- Les élèves représentent parfois le graphique, comme une histoire, attention à la temporalité des situations.
- Surutilisation dans les manuels scolaires
- Ne permet pas de visualiser la relation/fct dans son entier
- Difficulté à trouver certaines valeurs.
- Difficulté à trouver la règle à partir d'un tableau.
PORTES D'ENTRÉE POUR TRAVAILLER L'ALGÈBRE
LANGAGE ALGÉBRIQUE : manipulation algébrique
RÉSOLUTION PB: approche par pb
GÉNÉRALISATION : intérêt entre les relations
MODÈLISATION (FONCTION): anticiper ce qui se passe de façon générale.