circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dal centro. La distanza dai punti della circonferenza viene chiamata Raggio.
Due circonferenze possono essere:
Secanti se si intersecano in due punti differenti
Tangenti se si intersecano in un punto
Interne se la differenza dei raggi è maggiore della distanza tra i loro centri
Concentriche se hanno lo stesso centro
Esterne se la somma dei raggi è minore della distanza tra i loro centri
L'equazione di una retta si può ottene in vari modi...
Avendo 3 punti
Avendo tangente e centro
Avendo raggio e centro
Quando facciamo una rappresentazione grafica di una circonferenza noteremo 6 casi particolari.
c=0
a=0 b=0
b=0
a=0 c=0
a=0
b=0 c=0
(x-xc)^2(y-yc)^2=r^2
Si trova il circocentro e il raggio, per poi sostituire nell'equazione le coordinate dei tre punti ponendoli a sistema
si trova il raggio e si sostituisce nella formula delineata prima
Il centro della circonferenza apparterrà all'asse y.
Il centro della circonferenza apparterrà all'asse x.
La circonferenza passerà per l'origine degli assi.
Il centro della circonferenza coincide con l'origine.
Il centro della circonferenza apparterrà all'asse y e ed essa passerà per l'origine.
Il centro della circonferenza apparterrà all'asse x ed essa passerà per l'origine.
Dati un punto P e una circonferenza qualsiasi di equazione x^2+y^2+ax+by+c=0, possono presentarsi 3 casi:
Esistono relazioni tra circonferenze e rette che dipendono da "d" (la distanza tra il centro della circonferenza e la retta)
Possono essere:
tangenti
esterne
secanti
d>r (retta e circonferenza non hanno punti in comune)
d<r (hanno due punti distinti in comune)
d=r (hanno un punto in comune)
Per studiare la posizione di una circonferenza rispetto a una retta, bisogna determinare le soluzioni del sistema che si crea. Se D<0 non vi sono soluzioni reali e la retta sarà esterna, se D=0 vi sono due soluzioni reali e coincidenti e la retta sarà tangente, se D>0 vi sono soluzioni reali e distinte e la retta sarà secante.
P è interno alla circonferenza
P appartiene alla circonferenza
P è esterno alla circonferenza
In questo caso le rette passanti per P e tangenti alla circonferenza sono due. Per determinare le equazioni delle rette tangenti si possono seguire due metodi:
In questo caso vi è una sola retta passante per P e tangente alla circonferenza.
In questo caso non esistono rette tangenti passanti per P.
E' possibile seguire due metodi: con D=0 e con la distanza retta-centro.
Si usa: il metodo della retta tangente in P perpendicolare al raggio e il metodo delle formule di sdoppiamento
Si dice asse radicale di due circonferenze secanti la retta passante per i due punti di intersezione delle due circonferenze.
Un fascio di circonferenze è un insieme di infinite circonferenze i cui centri giacciono su una retta e si ottiene dalla combinazione lineare di due circonferenze introducendo un parametro reale k.
I fasci possono essere: secanti, tangenti, senza punti in comune e concentriche
Se le due circonferenze generatrici si intersecano nei punti base del fascio, tutte le circonferenze passeranno per quei punti (A e B) e l'asse radicale è la retta AB
Se le due circonferenze generatrici sono tangenti nell'unico punto base, tutte le circonferenze del fascio passeranno per quel punto (A) e l'asse radicale è la retta tangente in A.
Per studiare un fascio di circonferenze bisogna trovare: centro e raggio (in funzione di k), le due generatrici, i punti base, l'asse radicale e centrale e le circonferenze degeneri.
La circonferenza degenere può essere sia una retta sia un punto.