FUNCION EXPONENCIAL
En el ámbito de las matemáticas, una función es un vínculo entre dos conjuntos mediante el cual a cada elemento del primer conjunto le es asignado un único elemento del segundo conjunto o ninguno.
De acuerdo a sus características, existen diversos tipos de funciones matemáticas. Una función exponencial es una función que se representa con la ecuación f(x) = aˣ, en la cual la variable independiente (x) es un exponente.
Modelado de Situaciones
En la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, aprendimos a obtener la fórmula de funciones exponenciales de acuerdo a situaciones planteadas. Ahora que sabemos cómo obtener las fórmulas vamos a utilizarlas para resolver problemas de la vida real.
EJEMPLO
Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.
¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?
¿Cuántas aves hay después de 4 años?
¿Después de cuanto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?
Solución:
¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?
Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la población es:
f x = 50 × 3 x2
¿Cuántas aves hay después de 4 años?
Usando la fórmula para x = 4, la población será:
f 4 = 50 × 3 42 = 50 × 3 2 = 450
Después de 4 años habrá 450 aves.
¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?
Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:
f x = 50 × 3 x2 1000 = 50 × 3 x2 20 = 3 x2 ln (20 ) = ln ( 3 x2 ) ln (20 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (20 )ln (3 ) = x x = 5.4
La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.
Encontrar la Función a Partir de Valores Dados
EJEMPLO
En una investigación científica, una población de moscas crece exponencialmente. Si después de 2 días hay 100 moscas y después de 4 días hay 300 moscas.
¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?
¿Cuántas moscas hay después de 5 días?
¿Después de cuanto tiempo la población de moscas será de 1000 individuos?
Solución:
¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?
Como hablamos de un crecimiento exponencial estamos buscando una función de la forma:
f x = y 0 × a x b
Donde x representa el número de días transcurridos. Las condiciones del problema nos permite crear la siguiente tabla:
x 2 4
f(x) 100 300
Los valores de la tabla indican que la población de moscas se triplicó en un periodo de 2 días , lo que nos permite escribir la fórmula así:
f x = y0 × 3 x2
Sabemos que f(2)=100. Reemplazando en la fórmula para hallar y0:
f 2 = y0 × 3 22 100 = y0 × 3 1 y0 = 1003
Finalmente la fórmula para el crecimiento de las moscas es:
f x = 1003 × 3 x2
¿Cuántas moscas hay después de 5 días?
Usando la fórmula para x = 5, la población será:
f 5 = 1003 × 3 52 f 5 ≈ 520
Después de 5 días habrá aproximadamente 520 moscas.
¿Después de cuánto tiempo la población de moscas será de 1000 individuos?
Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:
f x = 1003 × 3 x2 1000 = 1003 × 3 x2 30 = 3 x2 ln (30 ) = ln ( 3 x2 ) ln (30 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (30 )ln (3 ) = x x ≈ 6.19
La población de moscas será de 1000 individuos después de aproximadamente 6.19 días.
INTERÉS CONTINUO
Interés Continuo
Las funciones exponenciales se utilizan para modelar el interés continuo, de la siguiente forma:
Si una cantidad de dinero inicial P se invierte a una tasa de interés anual i. La cantidad de dinero después de t años de inversión sujeto a un interés continuo está dada por la siguiente fórmula:
f t = P × e r t
EJEMPLO
Encontrar la cantidad de dinero que se obtienen después de 3 años si se invierte $3000 dólares a una tasa de interés del 7% anual, sujeto a interés continuo.
Solución:
Usando la fórmula con P=$3000, r=0.07 y resolviendo para t = 3, tenemos:
f 3 = 3000 × e 3 ×0.07 f 3 ≈ 3701.03
Después de 3 años la cantidad de dinero será aproximadamente $3701.03.
JOSE ÁNGEL LOPEZ HERNANDEZ
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