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Álgebra matricial y la solución de sistemas de ecuaciones (Tipos de…
Álgebra matricial y la solución de sistemas de ecuaciones
Tipos de matrices
Fila:
Solo tiene una fila y puede tener muchas columnas
Simétrica:
Es una matriz cuadrada
Triangular:
Es una matriz cuadrada especial en donde la diagonal inferior sólo tiene 0s (
Triangular inferior
) o la diagonal superior sólo tiene 0s (
Triangular superior
)
Nula:
Cuando todos los valores de la matriz son 0
Identidad:
Es una matriz especial, donde lo valores de la diagonal principal son todos 1 y el resto de valores es 0
Diagonal:
Todos los elementos por fuera de la diagonal principal son 0 y al menos un elemento de la diagonal principal es diferente de 0
Existen otro tipo de matrices que en realidad son casos especiales de los ya mencionados, pero por ahora no los vamos a mencionar
Propiedades de las matrices
Una matriz es triangular superior o inferior siempre diagonaliza en una base de vectores propios. (
Matriz diagonal
)
El producto de dos matrices triangulares superior o inferior es una matriz triangular del mismo tipo
la
matriz traspuesta
de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa
La
Determinante
de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal
Una matriz triangular es
invertible
si y sólo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior o inferior es otra matriz triangular del mismo tipo
Loas
valores propios
de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal
Operaciones con matrices
Con matrices se pueden hacer sumas y multiplicaciones, mas
no se puede hacer divisiones
Suma:
La suma de matrices puede cumplir con las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva y modulativa
Multiplicación:
la multiplicación entre matrices
no es conmutativa
. Pero si tiene las propiedades
clausura, elemento neutro, asociativa y distributiva
Las matrices se pueden multiplicar por un número entero, a esta multiplicación se le llama
Multiplicar una matriz por un escalar
Operaciones elementales
Intercambio de filas, producto fila por escalar, suma de fila y producto de otra
Rango de una matriz
Es el número de líneas que son linealmente independientes
El rango máximo de una matriz es el número más pequeño entre la cantidad de filas y columnas
Una línea es independiente de otra si es la suma, la resta o cualquier operación de una fila o de varias filas o columnas
Las filas dependientes no se tienen en cuenta a la hora de sacar el rango
Una línea
nula
tampoco se tiene en cuenta
El rango mínimo de una matriz es 1. Puede ser 0 si y sólo si la matriz es nula
Para hallar el rango de una matriz se puede usar el método de Gauss o por determinantes, entre otros
Determinante
Es un número escalar que sólo se puede calcular si la matriz es cuadrada
Hay determinantes de orden 2, orden 3 y superiores al orden 3, para cada caso hay un método idóneo para encontrar el resultado
La determinante de una matriz es igual a la de su traspuesta
Si en un determinante se cambian entre sí dos lineas paralelas, el signo de su valor también cambiará
Una matriz que tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale 0
Si una matriz tiene todos los elementos de una línea nulos, el determinante vale 0
Para calcular una determinante podemos utilizar el método de Gauss o el método de adjuntos o por determinantes
Ecuaciones lineales
Existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales:
sistemas con solución única, sistemas con infinitas soluciones, sistemas homogéneos y sistemas sin solución
Se pueden resolver por varios métodos:
Gauss, Cramer, igualación, sustitición, reducción, entre otros
Gauss:
Consiste en hallar la matriz identidad y a partir de allí resolver las ecuaciones resultantes para cada variable
Gauss-Jordan:
Es el complemento del método de Gauss. Una vez hallada la matriz identidad se procede a realizar operaciones para qué el resto de valores por encima y por debajo de la matriz principal den 0 y así se obtiene el valor de cada incógnita
Determinantes:
Consiste en hallar la determinante para cada una de las variables y para el sistema de ecuaciones luego, se hace una división entre la determinante de cada variable y la del sistema