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Base y dimensión de un espacio vectorial (Se llama dimensión de un espacio…
Base y dimensión de un espacio vectorial
Dimension en el espacio vectorial:
la dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una base (incluso el espacio {0}, ya que el vacío es una base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido. Conviene notar que existen espacios vectoriales de tanto de dimensión finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable
Propiedades de las bases
.
3
. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,de manera única para cada vector.
2.
Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
Propiedades de la dimensión.
Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S .≤ dim T Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir. - El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.
Es decir: si v 1 ,v 2 ,. . . v n generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S =
Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.
La dimensión de un subespacio en ℜ n , coincide con número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...) Base y Dimensión de un Espacio Vectorial.
Bases en el Espacio Vectoria
l.: a hemos visto cómo obtener combinaciones lineales de varios vectores. Pues bien, daremos ahora dos definiciones que guardan relación con estas operaciones:
Vectores linealmente dependientes
: Un conjunto de vectores será linealmente dependiente si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto. Otra definición equivalente será que el vector cero se podrá expresar como combinación lineal de este conjunto de vectores en el que al menos algún coeficiente será distinto de cero.
Vectores linealmente independientes
: Un conjunto de vectores será linealmente independiente si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto de los vectores. Otra forma de definirlo será si el vector cero sólo se puede expresar como combinación lineal de estos vectores cuando los coeficientes que multiplican a cada vector son nulos.
Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.
La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.
Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.
