MATEMÁTICA FINANCEIRA - MÓDULO II - JUROS COMPOSTOS - Aula 0201 a 0207
JUROS COMPOSTOS
ÚLTIMO MONTANTE ACUMULADO
APLICAÇÃO DA TAXA
REFERENCIAL
NO FINAL DE CADA PERÍODO - A TX DE JUROS É APLICADA SOBRE O NOVO MONTANTE - (VALOR COM JUROS INCORPORADOS)
CARACTERÍSTICAS
OS VALORES DOS JUROS DE CADA PERÍODO SÃO DIFERENTES
FATOR DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS
F = (1+I)n
Montante = M = C.Fator
M = C(1+I)n
J = M - C
J = C. [ (1+I)n - 1]
TABELAS
FATOR
VALOR ATUAL
VALOR FUTURO - FATOR DE ACUMULAÇÃO
F
n - períodos / i taxas
valor de (1+i)n
an¬i = a(n,i) = (F - 1) / (i . F)
Atual < Acumulado
divide por um número maior
i.F
Denominador = multiplicação da Taxa pelo Fator
Sn¬i = S(n,i)
Fator de Acumulação
Sn¬i = (F-1) / i
Fator F
(1+i)n
Arranjos da tabela de FATOR
Fator n = 2
x
Fator n = 3
=
Fator n (2+3) = F5
Só vale para essa Tabela
A Base de todas as tabelas
CONCEITOS
COMO LIDAR COM A INFLAÇÃO ?
CONCEITOS
GANHO REAL
GANHO APURADO - EFEITO DA INFLAÇÃO
CALCULA-SE O GANHO
ATUALIZA-SE O CAPITAL PELA TAXA DE INFLAÇÃO
COMPARA-SE O GANHO COM O VALOR DO CAPITAL ATULIZADO
TAXA EQUIVALENTE
DUAS TAXAS QUE PRODUZEM O MESMO MONTANTE
NO MESMO TEMPO
COMO ACHAR?
MAIOR TEMPO PRIMEIRO - À ESQUERDA
PARCIAIS À DIREITA
12% a.a
(1+ iaa)1
(1+iab)6
(1+iat)4
(1+iq)3
=
(1+ias)2
1 ano = 6 bimestres
1 ano = 4 trimestres
1 ano = 3 quadrimestres
1ano = 2 semestres
TAXA EFETIVA
A TAXA APLICADA UMA SÓ VEZ À OPERAÇÃO
DIVIDIMOS O CUSTO DA OPERAÇÃO PELO VALOR LÍQUIDO DISPONIBILIZADO
DIVIDIMOS O VALOR DO GANHO PELO VALOR DO CAPITAL ATUALIZADO PELA INFLAÇÃO.
TAXA PROPORCIONAL
SE A TAXA INFORMADA TIVER UNIDADE DIFERENTE DO PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO
TAXA INFORMADA = TAXA NOMINAL = DE REFERÊNCIA = CONTRATUAL = 12% aa
CAPITALIZAÇÃO
APLICAÇÃO DA TX SOBRE O CAPITAL
MENSAL
É NECESSÁRIO UMA TAXA PROPORCIONAL a.m ---- DIVIDIR TX aa / 12
BIMESTRAL
É NECESSÁRIA UMA TAXA PROPORCIONAL a.b ----- DIVIDIR TX aa / 6
PASSO A PASSO
1º - ATUALIZA O CAPITAL PELA TAXA DE INFLAÇÃO
2º - DIMINUIR DO GANHO NOMINAL - CALCULO SEM INFLAÇÃO
3º - DIVIDIR O GANHO REAL PELO CAPITAL ATUALIZADO
PROBLEMA: 3M - CAPITAL DE 100 FOI PARA 156 - TAXA APARENTE DE 56% - INFLAÇÃO DE 20% NO PERÍODO DOS 3 MESES.
1ª APLICAÇÃO: 100 * 1,2 = 120 (CAPITAL ATUALIZADO PELA INFLAÇÃO)
2ª APLICAÇÃO: 156 (GANHO APARENTE) - CAPITAL ATUALIZADO DE 120 = GANHO REAL DE 36
3ª APLICAÇÃO: DIVIDIR O GANHO REAL PELO CAPÍTAL ATUALIZADO = 36 / 120 = 30%. ESSA É A TAXA EFETIVA.
CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
E QUANTO O PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO FOR UM INTERVALO DE TEMPO TENDENDO A ZERO? CADA VEZ MENOR?
CONCEITOS
e = 2,72
M = C. e(in)
LOGARÍTIMO
Log Ab = X ---- b(X) = A
Log Ae = X ---- e (X) = A
BASE e = Ln = LOGARÍTIMO NATURAL
E SE O TEMPO DA OPERAÇÃO TIVER PARTE FRACIONÁRIA?
CONVENÇÃO LINEAR
FRAÇÃO
JUROS SIMPLES
GERA O MONTANTE - M1
PARTE INTEIRA
USA JUROS COMPOSTOS
ENTRADA: M1
1º CALCULA-SE PARTE FRAÇÃO DE TEMPO A JUROS SIMPLES
2º CALCULA-SE PARTE DE TEMPO INTEIRA A JUROS COMPOSTOS
MJS = C.(1+In)
NJC = MJS. (1+I)n
UM CAPITAL DE 20.000 / PERÍODO DE 02 ANOS E 03 MESES - À TAXA DE 10% aa
03 MESES = 1 TRIMESTRE = I = 2,5%at
MJS = 20.000 (1+0,025) = 20500
02 ANOS
MJC = 2500. (1+0,1)2 = 24805
DESCONTO COMPOSTO
COMERCIAL
RACIONAL
D = N.i.n
POR FORA
SUCESSIVOS DESCONTOS
A = N.(1-I)n
D = N -A
D = M[1 - (1-I)n]
POR DENTRO
N = a + d
a = N - d
N = a .(1+I)n
d = a . [(1+I)n - a]
SUCESSIVAS CAPITALIZAÇÕES COMPOSTAS DE a
N = a (1+I)n
DESCONTO COMPOSTO - CONTÍNUO -
M = C.e(in)
N = A.e(in)
A = N / e(in)
DIVIDIR POR EXPONENCIAL = MULTIPLICAR POR EXPONENCIAL COM O SINAL TROCADO
A = N.E(-in)
D = N - A
D = N - Ne(-in)
D = N(1-e(-in))
RENDAS CERTAS
TEMPO COM PARTE FRACIONÁRIA
TEMPO EXATO
TABELA
VALOR
ACHAR INTERVALO
% DO VALOR
APLICAR NO INTERVALO ENCONTRADO
INTERPOLAÇÃO
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
O VALOR DO CAPITAL NO TEMPO
JUROS COMPOSTOS = MAIS SIMPLES
CAPITALIZAR
DESCAPITALIZAR
NÃO É NECESSÁRIO LEVAR PARA A ORIGEM
JUROS SIMPLES
CAPITAL PODE DESLOCAR
CAPITALIZAR
DESCAPITALIZAR
SE TIVER MONTANTES
OBRIGATÓRIO VOLTAR À ORIGEM
ACHAR O CAPITAL
DEPOIS
CAPITALIZAR NOVAMENTE
a = N / (1+I)n
SÉRIE POSTECIPADA
FATOR DE VALOR ATUAL
an¬i = ( F-1 ) / (i.F)
FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL
FRC = 1 / An¬1
SÉRIE ANTECIPADA
PAGAMENTOS
A 1 PERÍODO DO CONTRATO
ENTRADA
1 º PAGAMENTO NO ATO
A = P + P. an¬I
M = P. sn¬I
sn¬I = (F-1) / i
SÉRIE DIFERIDA
PRIMEIRO PAGAMENTO COM TEMPO SUPERIOR A 01 PERÍODO
CARÊNCIA DE X meses
A = P. an¬i
TEMPO I PERÍODO ANTES DO PRIMEIRO PAGAMENTO
DESLOCAR PARA A DATA A = ACHAR Ao
Ao = A / (1+i) (x-1)
n = x MESES DE CARÊNCIA - 1
RENDAS PERPÉTUAS
A = P / i
RELAÇÕES ENTRE an¬I e sn¬I
1/ (an¬I) = 1/ (sn¬I) + i
i = 1/ (an¬I) - 1/ (sn¬I)
sn¬i = (F-1) / i
an¬i = (F-1) / (i.F)
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
MISTO
AMERICANO
PRICE / FRANCÊS
SACRE
SAC
AMORTIZAÇÃO É CONSTANTE
ENTRADA DA TABELA = VALOR DA AMORTIZAÇÃO
SALDO DEVEDOR / Nº PARCELAS
ELEMENTOS
PARCELA = JUROS + AMORTIZAÇÃO
JUROS = TAXA SOBRE O SALDO DEVEDOR ATUAL
REFERÊNCIA: OPERAÇÃO POSTECIPADA
SE TEMPO = TAXA
PRICE = FRANCÊS
SE TAXA DIFERENTE DE TEMPO
TAXA ANUAL E PRESTAÇÕES MENSAIS
PRICE - TAXA PROPORCIONAL
FRANCÊS - TAXA EQUIVALENTE - EXATA
iam = iaa / 12 = 12 %aa / 12 = 1%am
(1+iaa) = (1+iam) 12
ENTRADA
VALOR DA PRESTAÇÃO = IGUAIS
A = P . an¬i
P = A / an¬i
an¬i = (F-1) / (i.F)
ENTRADA DA TABELA
ENTRADA DA TABELA
MÉDIA ARITMÉTICA DAS PRESTAÇÕES PRICE E SAC
1ª PRESTAÇÃO MISTA = ( 1ª PRICE + 1ª SAC ) / 2
PAGAMENTO DE JUROS
(N-I) PARCELAS
PAGAMENTO PARCELA N
JUROS + PRINCIPAL
ENTRADA
FORMAÇÃO DO VALOR DA PARCELA - SÃO IGUAIS
VALOR DA AMORTIZAÇÃO SAC = SALDO DEVEDOR / n
SOMA JUROS DA PRIMEIRA PARCELA = i% MULTIPLICA SALDO DEVEDOR
EXEMPLO: 10.000 / 4 = 2500
EXEMPLO: 1% X 10.000 = 100
PARCELAS IGUAIS DE R$ 2.600,00
REGRA PARA 12 PARCELAS.
MOMENTO DE AJUSTE DE VALORES
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
CONCEITOS
TIR - TAXA INTERNA DE RETORNO
UM FLUXO DE CAIXA POSSUI UMA TAXA INTRÍNSECA
TAXA DE ATRATIVIDADE
TAXA MAIOR DO QUE A TAXA REFERENTE A UM CUSTO DE DISPONIBILIDADE
CUSTO DE DISPONIBILIDADE
O QUE UM INVESTIDOR DEIXAR DE GANHAR PARA ESCOLHER O INVESTIMENTO PROPOSTO
MÍNIMA ESPERADA
TAXA QUE IGUALA OS RETORNOS AO INVESTIMENTO EMPREGADO
VPL = VALOR PRESENTE LÍQUIDO
INVESTIMENTO - (SOMA DOS VALORES DOS RETORNOS A VALOR PRESENTE)
DECISÃO DE INVESTIMENTO
FATORES
MAIOR VALOR DE TIR SE AMBAS ACIMA DA ATRATIVIDADE
MAIOR VALOR DE VPL
PAYBACK
TEMPO
DE RECUPERAÇÃO DE UM INVESTIMENTO
FRAÇÕES DE VALOR
GERAM FRAÇÕES DE TEMPO
SE TIR a > TIR b e VPLb > VPLa
DECISÃO (F) VPL
DECISÃO PROJETO b
MEDIDA
INTERPOLAÇÃO
PERCENTUAL DE VALOR - APLICAR - PERCENTUAL DE PRAZO
A TAXA É APLICADA A VALORES QUE SE ATUALIZAM - PERÍODO A PERÍODO
C
M1
M2
J1
J2
DIFERENCIAÇÃO
JUROS SIMPLES
JUROS COMPOSTOS
% APLICADO SOBRE O MESMO CAPITAL INICIAL
JUROS = VALORES IGUAIS EM CADA PERÍODO
% APLICADO SOBRE O CAPITAL COM JUROS INCORPORADOS = MONTANTE.
JUROS DIFERENTES = VALORES CRESCENTES EM CADA PERÍODO
J1=J2=J3=J4
J1<J2<J3<J4
PORQUE
REFERENCIAL DE APLICAÇÃO: C - M1 - M2 - M3
O REFERENCIAL DE APLICAÇÃO É O MESMO = C - C - C - C