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2014-贏在起跑點 -數學類-特優-王宸澤 - Coggle Diagram
2014-贏在起跑點 -數學類-特優-王宸澤
壹,前言
二、研究目的
計算 n 人比賽時的機率一般解
推廣至連贏 n 場時之情形
計算在此規則下三人比賽時獲勝的機率
三、研究方法
從計算三人時的過程找出方法,並以無窮等比級數公式,進而求出一般解。
一、研究動機
小時候會和朋友一起玩桌球，規定一次一球，輸的就下場。那麼，挑戰的順序會不會影響勝算呢?於是我開始了這個研究,我規定,連贏2場者勝,接著計算機率。
貳,正文
二、計算三人比賽時獲勝的機率
(二)解法
假設乙贏了第一場
乙的勝率=2/7
丙的勝率=1/7
甲的勝率=1/14
假設甲贏了第一場
乙的勝率=1/14
丙的勝率=1/7
甲的勝率=3/7
所以甲贏的機率=2/7+1/14=5/14,乙贏的機率=1/14+2/7=5/14,丙贏的機率為1/7+1/7=2/7
(一)假設三人分別為甲、乙、丙,且甲乙先對決
三、推廣
(一)三人比賽時,規定連贏 3 場者勝利時的機率, 假設 A 剛贏一場(是連贏的第一場),之後要和 B 對決,在 A、B 對決前,假設 A 贏 的機率是a,B 贏的機率是 b,C 贏的機率是 c,這樣能找出一些規律:
a=1/4+1/4c+1/2c
b=1/4b+1/2a
c=1/4a+1/2b
a+b+c=1
可解得a=4/9,b=8/27,c=7/27
如果乙贏了第一場,則此時甲就如 同 C 的情形
乙贏的機率=1/2c+1/2a
丙贏的機率=b
甲贏的機率=1/2a+1/2c
贏的機率
甲贏的機率=19/54
乙贏的機率=19/54
丙贏的機率16/54
一、規則說明
有若干個人比賽,兩兩對決,對決時的勝率是二分之一,勝者與下一人對
決,直到有人連贏兩局,遊戲結束。
参,結論
(一)三人比賽時,規定連贏 2 場者勝利時,先比的兩人贏的機率為 5/14,
另一人為 4/14
肆,引註資料