EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE
Eksponencijalna funkcija
Neka je a>0 i a≠1 realan broj. Funkcija f(x)=a^x definirana za svaki realni broj x zove se eksponencijalna funkcija
Monotonost eksponencijalne funkcije:
Ako je a>1, onda za racionalne brojeve x1>x2 vrijedi a^x1<a^x2
Zrcaljenje grafa oko y-osi:
Zrcaljenjem grafa funkcije f oko y-osi dobiva se graf funkcije g(x)=f(-x),
Zrcalimo li graf eksponencijalne funkcije f(x)=a^x oko y-osi, dobit ćemo graf eksponencijalne funkcije g(x)=a^-x;
g(x)=f(-x)=a^-x=(1/a)^x
Svojstva eksponencijalne funkcije:
1.) Funkcija je definirana za svaki realni broj x.
2.) Sve su vrijednosti funkcije pozitivni brojevi i svaki je pozitivan realni broj vrijednost funkcije za neki realni broj x.
3.)
a) a^x a^y = a^x+y .
b) (a^x)^y = a^xy .
c) (ab)^x = a^x b^x .
d) a^0 = 1 .
e) 1.) Ako je a>1, onda za x1<x2 vrijedi a^x1 < a^x2 ; funkcija je rastuća.
2.) Ako je 0>a>1, onda za x1<x2 vrijedi a^x1 > a^x2 ; funkcija je padajuća.
4.) Grafovi eksponencijalnih funkcija, čije su baze recipročni brojevi, simetrični su s obzirom na os y.
Injektivnost eksponencijalne funkcije:
Ako je a^x1 = a^x2 , onda vrijedi x1=x2 .
Kriterij injektivnosti:
Funkcija f je injektivna ako pravac paralelan s x-osi siječe njezin graf najviše u jednoj točki.
Logaritamska funkcija
Neka je f(x) = a^x eksponencijalna funkcija i neka je y pozitivan broj.
Broj x za koji je a^x = y zove se logaritam broja y.
a^x = y <::::::> x=logˇa (y)
Logaritam pozitivnog broja y jest eksponent kojim treba potencirati bazu a da bi se dobilo y:
a^loga(y) = y .
Dekadski logaritam:
Logaritam po bazi 10 zovemo dekadski logaritam ili jednostavno logaritam.
10^x = y <:::::::> x=log y
Logaritamska funkcija po bazi a je pridruživanje x |---> logˇa(x) , kojim se pozitivnom realnom broju x pridružuje njegov logaritam. Pišemo:
f(x) = logˇa(x) .
Svojstva logaritamske funkcije:
Logaritamska funkcija x ----> logˇa(x) definirana je za sve pozitivne realne brojeve. Skup svih njezinih vrijednosti je skup realnih borjeva.
Svojstva te funkcije:
1.) logˇa(xy) = logˇa(x) + logˇa(y) .
2.) logˇa(x/y) = logˇa(x) - logˇa(y) .
3.) logˇa(x^r) = rlogˇa(x) .
4.) Za svaki broj a>0 i a≠1 , vrijedi logˇa(1)=0.
5.) a) Ako je a > 1 i xˇ1 < xˇ2 , onda je logˇa(xˇ1) < logˇa(xˇ2) .
b) Ako je 0 < a < 1 i xˇ1 < xˇ2 , onda je logˇa(xˇ1) > logˇa(xˇ2) .
6.) Ako je logˇa(xˇ1) = logˇa(xˇ2) , onda vrijedi xˇ1 = xˇ2 .
Veza logaritama po različitim bazama:
Ako je a>0 i a≠1 te x bilo koji pozitivan broj, tada vrijedi sljedeći identitet
logˇa(x) = logˇb(x)/logˇb(a) .
Prirodni logaritam:
U primjni logaritamskih funkcija najvažnija je onda čija je baza broj e .
Ta funkcija ima i posebno ime, prirodni logaritam, i posebnu oznaku ln x:
logˇe(x)= ln x .
Oznaka ln potječe od prvih slova latinskog naziva ove funkcije, lat. logaritmus naturalis (prirodni logaritam).
Dekadski i prirodni logaritam povezani su sljedećom jednakošću:
ln x = logˇx/logˇe ≈ 1/0.4343 log(x) ≈ 2.3 * log(x).
Eksponencijalna jednadžba
Eksponencijalna jednadžba:
Jednadžba koju možemo svesti na oblik
a^x = b , b > 0
zovemo eksponencijalna jednadžba
Logaritamska jednadžba
Logaritamska jednadžba:
Jednadžba koja se može svesti na oblik
logˇa (x) = b, b e R
zovemo logaritamska jednadžba.
-Olay Younis 2.c
Broj e:
Približna virjednost je 2.7182818284590.