Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices
Método del Determinante
Como se calcula
método de Gauss
Consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular.
Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:
• Permutar 2 filas ó 2 columnas.
• Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
• Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Método Cruzado
Determinante del sistema ΔS, Armamos el determinante solo con los valores que estan multiplicando a la X y Y, luego multiplicamos cruzados, y restamos los múltiplos.
Determinante de X ΔX , Armarnos el determinante con los valores que están a la derecha del signo igual, y con los valores que están multiplicando a la Y, luego multiplicamos cruzado y restamos las
multiplicaciones.
Determinante de Y ΔY, Armarnos el determinante con los valores que están a la derecha del signo igual, y con los valores que están multiplicando a la X, multiplicamos cruzado y restamos las multiplicaciones.
Ahora que ya tenemos los valores de los determinantes, lo que sigue es encontrar los valores correspondientes a X e Y, y de esa forma resolvemos la ecuación. Para eso debemos hacer uso de la siguiente formula:
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz.
Método de Gauss-Jordan
Utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de
ecuaciones de n numero de variables.
Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se
aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso.
El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad y se logra mediante operaciones elementales.
Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
Ir a la primera columna no cero de izquierda a derecha.
Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
omenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
Clasificación de sistemas de ecuaciones
Incompatible
No tiene solución.
Compatible determinado
Solución única.
Compatible
Tiene solución.
Compatible indeterminado
Infinitas soluciones.
Rango de una matriz
Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como rg(A)
Sistema de ecuaciones lineales
Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Sustitución
Consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.
Igualación
Se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Reducción
El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Método gráfico
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión.
Método de Gauss
El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.