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INTEGRALES (Integrales definidas (Propiedades (Si una función es positiva…
INTEGRALES
Integrales definidas
La interpretación geométrica de la integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b], representa el área de la región de plano comprendida entre la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y=0 y las rectas x=a y x=b.
Propiedades
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Si una función es positiva dentro de un intervalo [a,b], es decir, que en ese intervalo la función queda por encima del eje x, la integral definida es positiva, cuyos límites de integración son los límites de ese intervalo:
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Si tenemos un punto c, que pertenece al intervalo [a,b], el área limitada en ese intervalo es igual al área limitada entre los puntos de abcisa a y c, más el área limitada entre los puntos de abcisa b y c y por tanto, lo mismo ocurre con el valor de la integral definida:
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La integral definida de la multiplicación de un número por una función es igual a ese número por la integral definida de la función:
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Si intercambiamos los límites de integración, el valor de la integral definida cambia de signo:
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Si la función cambia de signo en un determinado intervalo, el área de ese intervalo será la suma de las áreas de cada recinto.
Por ejemplo, tenemos una función cambia de signo en un intervalo [a,d]:
En este caso nos quedan 3 recintos: uno definido entre los puntos a y b, que llamaremos S1, otro definido entre los puntos b y c, que llamaremos S2 y otro entre los puntos c y d que llamaremos S3. El área limitada por la función, el eje x y los puntos a y d será la suma de esos tres recintos:
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O lo que es lo mismo, la suma de las respectivas integrales definidas, afectadas por su signo correspondiente, en función de si quedan por encima o por debajo del eje x:
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Regla de Barrow
Si f es una primitiva de F, es decir, f′=F o, equivalentemente, ∫F(x)dx=f, entonces:
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Integrales indefinidas
Propiedades
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La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
Integral indefinida de una constante por una función. 
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Métodos de integración
Por partes, para calcular la integral de un producto (según la siguiente fórmula)
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Racionales
Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, debemos hacer la división de los polinomios, calculando el cociente y el resto. Hecho esto, y aplicando la regla de la división (dividendo=cociente · divisor + resto), hacemos la siguiente descomposición:
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Cambio de variable
Este método consiste en aplicar un cambio de variable para simplificar la integral. Se simplifica de la siguiente manera:
-Escoger un cambio de variable t = función de x.
-Despejar x para calcular dx.
-Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio de variable.