Límites y continuidad

Límites Trigonométricos

Límites al infinito

Límite de una sucesión

Cálculo Algebraico de Límites

Es fundamental e indispensable conocer el cálculo algebraico de límites, puesto que es la base para determinar el resto de conceptos de cálculo, como derivas, integral, entre otros.

Indeterminaciones

Límites Determinados

Decimos que un límite es determinado cuando al calcularlo se obtiene un resultado que tiene sentido en R

Las indeterminaciones en los límites son las expresiones que no quedan al sustituir la x por el número al que tiende y que no tienen solución

Tipos de Indeterminaciones

Infinito entre infinito

cero elevado a cero

Infinito menos infinito

Cero entre cero

Cero por infinito

calculo-de-limites-33

calculo-de-limites-32

calculo-de-limites-30

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Uno elevado a infinito

Infinito elevado a cero

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Un número entre cero

calculo-de-limites-31

Esta indeterminación es parecida al caso anterior. ¿Qué pasa si elevamos infinito a cero? ¿El resultado es 1? No tiene sentido, por lo que el resultado es infinito.

el resultado es una indeterminación

nfinito menos infinito no es cero, porque desconocemos el orden de magnitud de cada uno de los infinitos. No tienen porque ser igual de grandes. El infinito es un concepto muy abstracto y no tiene un valor definido.

Sabemos que cero dividido entre cualquier número sigue siendo cero, pero si el cero lo dividimos entre cero, el resultado no es cero, es una indeterminación.

Un número dividido entre cero no tiene solución. Prueba a hacerlo con la calculadora y verás que te da error. Por tanto estamos ante otra indeterminación.

Cualquier número elevado a cero es uno, pero por otro lado, cero por cero es cero. Entonces si cero lo elevamos a cero ¿es uno o es cero? Pues ni una cosa ni la otra. Es indeterminado.

Dividir un número entre infinito es cero, pero si dividimos el propio infinito entre infinito

Se podría pensar que el resultado es uno, sin embargo, esta operación tampoco tiene solución.

Estos casos se ven en segundo de Bachillerato

Limites Por Factoreo

Pasos para resolver limites por factoreo

Primero: Se descomponen en factores los polinomios del numerador y del denominador.

Para Finalizar se vuelve a sustituir la x por el número al que tienda, llegando a una solución determinada.

Tercero: Se eliminan los factores que se repitan en el numerador y en el denominador. De esta forma se elimina la indeterminación

Segundo:Sustituimos los polinomios en el límite por su descomposición en factores.

Ejercicio

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Ejercicio

7

Características

Procesos algebraicos

Que_es_la_pintura - copia

Remplazar valores

ejercicios

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Límites infinitos

Tipos de límites infinitos que se pueden presentar.

Límites por Racionalización

Límites por la regla de L’Hôpital.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da solo en el caso de las indeterminaciones del tipo:

calculo-de-limites-30

calculo-de-limites-29

Ejemplo

Ejemplo

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Este tipo de limites se presenta cuando aparece una raíz a en el numerador o denominador de una función racional y esta al ser resulto el limite se vuele cero en el denominador

Pasos para resolver ejercicios

1) Se escribe el conjugado del termino que tenga la raíz

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2) Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado

3) Se realizan las operaciones de multiplicación

4) Se elimina el termino que se vuelve cero en el denominador y en caso de ser necesario se factoriza

5) Se evalúa el valor del limite

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático.

Límite de una sucesión compleja

Límite de una sucesión de números reales

Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden

los términos son cada vez más pequeños, en otras palabras, los términos convergen hacia 0.

Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando n toma valores muy grandes.

Esta convergencia a 0 de una sucesión se define matemáticamente de una forma muy precisa:

Sucesión convergente a 0

En este caso se suele expresar en la forma:


suces8

Ejemplo

suces2

suces9

ejemplo

Sucesiones en el espacio

Sucesiones en

Sucesiones en el espacio

Sucesiones en el espacio de las funciones continuas

Sucesiones en

C

R

Rn

Lp

L2

Para realizar operaciones con límites trigonométricos se requiere tener conocimiento de las identidades trigonométricas.

Propiedades de los Límites

Para llevar acabo la resolución de los límites algebraicos, es necesario conocer las propiedades de los límites

Propiedades Fundamentales

Límite de una constante

Límite de una raíz

Límite de una potencia

Límite de un cociente

Límite de un producto

Límite de una suma

Límite de una función

El límite de una función constante es esta misma constante.

el límite de una raíz, es la raíz del límite

El límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas

el límite del producto es el producto de los límites.

el límite de la suma es la suma de los límites.

El límite de una función, es la función de los límites de las dos funciones

El límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente

Los límites trigonométricos son límites de funciones tales que dichas funciones están formadas por funciones trigonométricas.

Hay dos definiciones que deben ser conocidas para poder entender cómo se realiza el cálculo de un límite trigonométrico.

Funciones trigonométricas: las funciones trigonométricas son las funciones seno, coseno y tangente, denotadas por sin(x), cos(x) y tan(x) respectivamente.

Límite de una función «f» cuando «x» tiende a «b»: consiste en calcular el valor al cual se aproxima f(x) a medida que «x» se aproxima a «b», sin llegar a valer «b».

Ejercicios

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Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo.

Tipos de límites al infinito que se pueden presentar.

Límite finito L cuando x → +∞

Cuando x → +∞ y el límite = +∞

Cuando x → +∞ y el límite = -∞

Límite finito L cuando x → -∞

Cuando x → -∞ y el límite = +∞

Cuando x → -∞ y el límite = -∞

Límite = +∞ cuando x → a

Límite = -∞ cuando x → a

Límite = +∞ cuando x → +∞

Límite = +∞ cuando x → -∞

Límite = -∞ cuando x → -∞

Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos.

Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) > f(a).

limites-infinitos-mas-infinito-x-tiende-a

Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) < f(a).

1

Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) > f(a).

2

Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) > f(a).

3

Para cualquier valor de la función f(a) positivo, negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) < f(a).text

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Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a +∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno

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Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a -∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno, haciendo la variable x tan grande y negativa como se quiera

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Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes (positivas).

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Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.


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i en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes (positivas).

Si en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.

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Límites al infinito
(Criterio)

Cuando escuché por primera vez el término límites al infinito, lo primero que se me vino a la cabeza es algo muy especial pero inalcanzable, pero al indagar sobre dicho límite, comprendí que si podemos calcular el valor de alguna función que tienen al infinito dentro, algo que suena muy loco, pero es posible.

Propiedades de los Límites
(Criterio)

Las propiedades de los limites, son las características que nos permiten comprender de mejor forma como resolver cualquier clase de limites, no se puede estudiar limites, sin antes analizar sus propiedades.

Límites infinitos
(Criterio)

Lo interesante de este tipo de límites es que la respuesta puede ser tan grande como queramos, debido a que infinito no es un número, es una idea, eso quiere decir que es imposible llegar a infinito, pienso yo que al decir límites infinitos, lo que en verdad queremos decir es que la función no tiene límite.

Límite de una sucesión
(Criterio)

En mi opinión las sucesiones son la base de las matemáticas y son de gran importancia para nuestro día a día, pero al hablar de límite de una sucesión nos referimos a uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático, se entiende por dicho tema, que la sucesión se aproxima tanto cómo queramos al valor límite.

Límites Trigonométricos (Criterio)

Después de haber estudiado durante tres años las funciones trigonométricas, me he podido dar cuenta de su gran importancia en medir triángulos, y si eso parece poco, con la trigonometría podemos calcular la distancia del sol a la tierra. La trigonometría por lo visto también se utiliza en cálculo, un claro ejemplo es que en la antigüedad los límites trigonométricos se lo empleaban como base de toda ingeniería.

Cálculo Algebraico de Límites
(Criterio)

Para mí el cálculo algebraico de límites es muy importante, puesto que la carrera en la que estoy interesado (economía), se emplean mucho los límites, ya sea para saber el nivel de producción y encontrar el menor costo posible para generar una mayor ganancia, también para conocer el valor máximo o mínimo que puede adquirir el dinero en el mercado financiero en un determinado período, estas son algunas de las cosas que se pueden emplear con límites.

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