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Límites y continuidad (Cálculo Algebraico de Límites (Indeterminaciones…

- - - - Hay dos definiciones que deben ser conocidas para poder entender cómo se realiza el cálculo de un límite trigonométrico.
        
        Funciones trigonométricas: las funciones trigonométricas son las funciones seno, coseno y tangente, denotadas por sin(x), cos(x) y tan(x) respectivamente.
        
        Ejercicios
        
        Límite de una función «f» cuando «x» tiende a «b»: consiste en calcular el valor al cual se aproxima f(x) a medida que «x» se aproxima a «b», sin llegar a valer «b».
- - - - Límite finito L cuando x → +∞
        
        Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a +∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno
      - Cuando x → +∞ y el límite = +∞
        
        Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes (positivas).
      - Cuando x → +∞ y el límite = -∞
        
        Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.
      - Límite finito L cuando x → -∞
        
        Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a -∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno, haciendo la variable x tan grande y negativa como se quiera
      - Cuando x → -∞ y el límite = +∞
        
        i en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes (positivas).
      - Cuando x → -∞ y el límite = -∞
        
        Si en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.
- - - - Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden
        
        ejemplo
        
        Sucesiones en el espacio
        
        Sucesiones en
        
        Sucesiones en el espacio
        
        Sucesiones en el espacio de las funciones continuas
        
        Sucesiones en
    - - los términos son cada vez más pequeños, en otras palabras, los términos convergen hacia 0.
        
        Esta convergencia a 0 de una sucesión se define matemáticamente de una forma muy precisa:
        
        Sucesión convergente a 0
        
        En este caso se suele expresar en la forma:
        
        Ejemplo
- - - - Tipos de Indeterminaciones
        
        Infinito entre infinito
        
        Dividir un número entre infinito es cero, pero si dividimos el propio infinito entre infinito
        
        cero elevado a cero
        
        Cualquier número elevado a cero es uno, pero por otro lado, cero por cero es cero. Entonces si cero lo elevamos a cero ¿es uno o es cero? Pues ni una cosa ni la otra. Es indeterminado.
        
        Infinito menos infinito
        
        nfinito menos infinito no es cero, porque desconocemos el orden de magnitud de cada uno de los infinitos. No tienen porque ser igual de grandes. El infinito es un concepto muy abstracto y no tiene un valor definido.
        
        Cero entre cero
        
        Sabemos que cero dividido entre cualquier número sigue siendo cero, pero si el cero lo dividimos entre cero, el resultado no es cero, es una indeterminación.
        
        Cero por infinito
        
        el resultado es una indeterminación
        
        Uno elevado a infinito
        
        Se podría pensar que el resultado es uno, sin embargo, esta operación tampoco tiene solución.
        
        Infinito elevado a cero
        
        Esta indeterminación es parecida al caso anterior. ¿Qué pasa si elevamos infinito a cero? ¿El resultado es 1? No tiene sentido, por lo que el resultado es infinito.
        
        Un número entre cero
        
        Un número dividido entre cero no tiene solución. Prueba a hacerlo con la calculadora y verás que te da error. Por tanto estamos ante otra indeterminación.
        
        Estos casos se ven en segundo de Bachillerato
        
        Limites Por Factoreo
        
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  - - - Características
        
        Procesos algebraicos
        
        Remplazar valores
      - ejercicios
- - - - Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) > f(a).
    - - Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) < f(a).
    - - Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) > f(a).
    - - Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) > f(a).
    - - Para cualquier valor de la función f(a) positivo, negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) < f(a).text
- - - - Límite de una constante
        
        El límite de una función constante es esta misma constante.
      - Límite de una raíz
        
        el límite de una raíz, es la raíz del límite
      - Límite de una potencia
        
        El límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente
      - Límite de un cociente
        
        El límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas
      - Límite de un producto
        
        el límite del producto es el producto de los límites.
      - Límite de una suma
        
        el límite de la suma es la suma de los límites.
      - Límite de una función
        
        El límite de una función, es la función de los límites de las dos funciones