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Estimación y pruebas de hipótesis (Pruebas de hipótesis. (ANOVA Analysis…

- - - - Es la raíz cuadrada positiva de la varianza de la muestra
- - - - Son independientes entre sí
  - - - tiene una distribución muestral chi-cuadrada, con (n − 1) grados de libertad
        
        Distriución chi-cuadrada
        
        Tiene soporte en el eje x
        positivo y está sesgada a la derecha.
        
        Podemos definir χα²(p) como el número en el eje x tal que exista a su derecha exactamente un área α bajo la curva χα²(p)
        
        en R, chisq(df = n − 1)
- - - - El estadígrafo T de Student tiene una distribución muestral t con n − 1 grados de libertad
        
        en R, t(df = n − 1)
  - - - Cuando ν is mayor que 2, la desviación estándar siempre es mayor que uno, pero decrese a 1 cuando ν → ∞.
- - - - Diferencia de medias muestrales (independientes)
        
        Si la distribución de una o ambas muestras no es normal, el estadígrafo considerado será aproximadamente normal, siempre que los tamaños de ambas muestras sean grandes.
        
        De forma equivalente, X_barra - Y_barra tiene una distribución muestral
        
        Este estadígrafo tiene una distribución muestral N (0, 1).
      - Razón entre las varianzas de muestras (independientes)
        
        Esta razón tiene una distribución muestral f(n1 − 1, n2 − 1) de Snedecor.
        
        Distribución F de Snedecor de (m, n) grados de libertad
        
        en R, f(df1 = m, df2 = n)
        
        Podemos definir Fα (m, n) como el número en el eje x tal que tiene a su derecha exactamente un área α bajo la curva de f(m, n)
- - - - Los parámetros son aleatorios y los datos (valores que ya se dieron) son fijos
        
        Dada una distribución de probabilidad, antes y después de un hecho, el intervalo de credibilidad se basa en los cuantiles de la distribución posterior
  - - - Un intervalo de confianza para θ
      - Nivel de significancia α
        
        Nivel de confianza
      - Es un intervalo real que depende la muestra y no de θ
    - - Media
        
        Media desconocida y varianza conocida
        
        La función de probabilidad de la media pertenece al intervalo.
        
        es tal que siendo
        
        Cuando N>30 la función de probabilidad pertenece al mismo intervalo
        
        Sólo que si σ es desconocida, puede sustituirse por las desviación típica muestral
        
        Media y varianza desconocida.
        
        Se aplica una función de probabilidad que esta incluida en el siguiente intervalo
        
        Donde es valor de tal que siendo T_n una variable con distribución t de student con N grados de libertad
      - Proporción
        
        Sea p la probabilidad desconocida de un determinado evento (Éxito)
        
        N son las realizaciones independientes del éxito.
        
        la proporción de éxitos en la muestra
        
        Si N>30
        
        Entonces p pertece a la función de probabilidad que tiene un intervalo
      - Varianza
        
        Siendo X una variable aleatoria con distribución gaussiana
        
        P[ <σ²<]
        
        Los valores de deben buscarse en las tablas de
        
        Para corresponde al valor tal que donde es una distribución ji-cuadrada con N grados de libertad
        
        Media desconocida y varianza σ²
      - Unilaterales
        
        Acotados a un sólo lado
      - Bilaterales
        
        Los intervalos mencionados anteriormente
- - - - es una estimación insesgada de Cov(Z, Y )
    - - es una estimación insesgada del coeficiente de correlación
        ρ(Z, Y )
- - - - el estimador θ se obtiene despejándolo (si es
        posible) de la ecuación z = f (θ)
  - - - y la varianza poblacional estará expresada como función de estos parámetros, VarZ = σ² = g(θ1, θ2)
        
        los estimadores mediante el método de los momentos de θ1 y θ2 , θ1^ y θ2^ , se obtienen despejándolos del sistema de ecuaciones
        
        z_barra = f(θ1^, θ2^)
        
        s_z² = (θ1^, θ2^)
- - - - Construir una función de probabilidad empírica F(x). Asignando la probabilidad de 1/n a cada punto x_1,x_2...x_n
      - A partir de la Función de probabilidad empírica (FDE) se extrae una muestra aleatoria simple con reemplazo.
      - Se calcula el estadístico de interés θ y en la remuestra se le llamará θi
      - 4.Se repiten los pasos 2 y 3 en B ocasiones
      - Se construye una distribución de probabilidad apartir de B valores θi , asignando la probabilidad de 1/B a cada punto θ1, θ2...θB con una distribución muestral de
- - - - Hipótesis nula (H0)
        
        Se puede rechazar una hipótesis sobre el parámetro de una población
        
        Parámetro de población
        
        valor hipótetico para ese parámetro
      - Hipótesis alternativa(H1)
        
        A favor de la hipótesis contraria.
        
        Contraste unilateral derecho
        
        Contraste Unilateral Izquierdo
        
        Contraste bilateral
  - - - Error tipo I o falso negativo (Rechazar hipótesis nula cuando es cierta)
        
        Nivel de significancia
        
        Nivel de confianza
      - Error tipo II o falso positivo (Se acepta la hipótesis nula)
        
        Su probabilidad se denota
        
        Potencia de probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa
  - - - Nivel de significancia que se escoge generalmente.
        
        Se rechaza de H0 en favor de H1 con más del 95% de confianza
        
        No se puede rechazar H0 en favor H1 con al menos de 95% de confianza
      - Cuando p-valor puede tomar un valor de significancia distinto
        
        Se rechaza H0 y se acepta H1
        
        de confianza
        
        No se rechaza H0 y se rechaza H1
  - - - Qué tan bueno o malo es un estimador (o qué tanto se ajusta la distribución determinada?)
        
        Test X^2
        
        Para variables discretas o cualitativas
        
        N= tamaño de la muestra.
        X= v.a.
        S1,...,Sr=Variables que puede tomar la variable.
        Oi= número de observaciones de cada Si. pi=probabilidad de cada Si.
        x1,...,xm= valores de la muestra
        k= Número de parámetros estimados.
        alpha= Valor de significancia
        
        H0= La distribución se ajusta adecuadamente a los datos. H1= La distribución no se ajusta adecuadamente a los datos
        
        Procesos
        
        Enunciar H0 y H1
        
        Calcular frecuencias esperadas de cada xi.
        N * P [X = xi], i = 1; ...;m.
        Si alguna de las frecuencias es menor a 5 se agrupa con la más cercana, hasta ser igual o mayor a 5
        
        Calcular las frecuencias observadas Oi
        
        Calcular estadístico del test.
        
        Calcular el p-valor.
        Con distribución X^2 y r-k-1 grados de libertad
        
        Tomar decisión :
        :green_cross:p<alpha, se rechaza H0 con 1-alpha % de confianza.
        :check:p>=alpha, no se rechaza H0
        
        Test Kolmogorov-Smirnoff
        
        Para variables continuas. Comparar distribución teórica con empírica
        
        X1, ..., XN= Muestra de una v.-a. X
        F(x) =Función de distribución propuesta
        SN(x)= Función de distribución empírica
        
        Proceso:
        
        Ordenar valores de la muestra de mayor a menor
        
        Construir la función de distribución empírica
        
        Calcular el estadístico
        
        Se rechaza la hipótesis si:
        p = P [DN > dN] < 0:05, con un (1 - p) *100% de conanza
        
        Contraste de independencia X^2
        
        Decidir si dos variables cualitativas están estrechamente relacionadas
        
        X y Y= Variables cualitativas
        x1, ..., xr= Posibles valores de X
        y1, ..., ys= Posibles valores de Y
        pij= proporción de individuos con características simultáneas xi y yj
        
        Se pretende contrastar:
        
        Contraste
        
        n= Tamaño de la muestra
        nij= Individuos con valor xi y yj (frecuencia observada)
        
        Estimadores:
        
        Si H0 es cierta:
        
        Frecuencias esperadas
        
        Estadístico de contraste
        
        Si H0 es cierta, el estadístico tiene una distribución X^2 con (r-1) (s-1) grados de libertad
        
        p-valor
        
        :green_cross: Rechazamos H0 con nivel de significación alpha si
        
        :check: Aceptamos H0 con nivel de significación alpha si
  - - - m muestras independientes de tamaño ni
        Todas con distribución normal, media mui y varianza de todas sigma^2
      - Contrastar
        
        H1: no todas las medias son iguales
    - - Se unen todas las muestras
      - Media total
      - Fuentes de variación de los datos
        
        SCT= Suma de cuadrados totales
        Medida de variación global
        
        SCE= Suma de cuadrados entre grupos.
        Medida de diferencia entre las medias
        
        Si H0 es cierta el SCE es pequeño
        
        SCD= Suma de cuadrados intra-grupos
        Medida de variabilidad inherente a cada muestra
      - Teorema de partición de la varianza
        
        SCT = SCE + SCD
        
        El ANOVA consiste en ver si SCE es significativamente grande respecto de SCD.
      - Si H0 es cierta:
        
        Estadístico de contraste
        
        sigue una F de Snedecor
        con m - 1 y N - m
        grados de libertad.
      - Decisión
        
        :check: Se aprueba H0 con nivel de significación alpha si
        
        :green_cross: Se rechaza H0 con nivel de significación alpha si
  - - - Multiplicar los p-valores de todas las pruebas por el número total de pruebas, antes de tomar la decisión
- - - - A menudo es más fácil maximizar el logaritmo de la función de verosimilitud, l(θ) = ln L(θ)
      - Los EMV no siempre existen. Para cualquier problema dado, podría haber cero, uno o cualquier número de valores de θ para los cuales L(θ) es un máximo.
      - En R: Para problemas de estimación de un parámetro, para encontrar EMVs podemos usar la función optimize.