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APLICACIONES LINEALES (Matriz asociada a una aplicacion lineal (Ecuación…
APLICACIONES LINEALES
Matriz asociada a una aplicacion lineal
cada matriz representa na aplicación, y cada vocacional se puede identificar con una matriz
Rango se llama a la dimension de su subespacio imagen. Se denota rg(f) = dim(Im(f)) o numero de vectores independientes
Matriz que contiene en sus columnas las imágenes se la base canónica de V
Propiedades
Observación
Ecuación de una aplicación lineal
Como hallar la matriz asociada a una aplicación lineal
Núcleo e Imagen
Núcleo
Son los v tales que f(v)=0
Si es compatible indeterminado, se expresa en parámetros
Si es compatible determinado solo tiene solución nula ker (f)=0
Imagen
Las columnas de A son las imágenes de la base canónica
se destacan algunas aplicaciones lineales
Identidad es biyectiva
Nula no es biyectiva ni suprayectiva
Giros es biyectiva
Reflexiones o simetrías es biyectiva
Homotecias es biyectiva
Proyecciones son suorayectivas pero no es biyectiva
Matriz de una aplicación en distintas bases
Cuando no se confirme lo contrario se tratara de la matriz estándar
Se fijan en los espacios inicial y final otras bases, se encuentra una expresion f adecuada a estas coordenadas
se define como la matriz que contiene en sus columnas las imágenes de los vectores de la base B, expresados en coordenadas respecto de B'
Propiedades
Núcleo e Imagen
Nucleo: Conjunto de vectores cuya imagen es 0w
Se denota Ker(f)
Imagen
se asigna a cada elemento de A uno de B
Clasificación
Inyectiva: si no hay do elementos que tengan imagenes iguales
Suprayectiva o sobreyectiva: si todos los elementos del conjunto B han sido utilizados
Biyectiva: si es a la vez inyectiva y suprayectiva
Se denomina aplicación lineal, función lineal, transformación lineal, u operador lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales, tal que satisfaga la siguiente definición
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29598d8d090302ac7b538929122786a22b9fc672
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https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6078ed83c7b66fae7a6b21d41d9850d808c655bd
]
Transformavión de subespacios
b) El subespacio f(S) tiene dimensión menor o igual a su dimensión de S
si la aplicación es inyectiva, se conserva las dimensiones, f(S) tiene la misma dimensión que S.
Imagen de conjuntos dependientes e independientes
La imagen de un conjunto linealmente dependiente es otro conjunto linealmente dependiente
no esta asegurado que la imagen de un conjunto independiente siga siendo independiente
Imagen de un sistema generador
es decir V1,...Vr generan S, entonces f(V1),...f(Vr) generan f(S)
Relación entre matriz estándar y matriz en otras bases
Matrices equivalentes
Composición de aplicaciones
Se pueden llamar homomorfismos
Diremos que f es lineal si conserva las combinaciones lineales
