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I NUMERI COMPLESSI (I numeri complessi costituiscono un insieme che…

- - - - Il numero (0;1) si chiama unità immaginaria, che indichiamo con il simbolo i
    - - I numeri complessi però possono essere scritti in varie forme equivalenti:
        
        forma algebrica
        
        La forma a + ib è detta forma algebrica del numero complesso (a;b).
        
        forma esponenziale
        
        La forma esponenziale viene spesso usata per semplificare i calcoli nelle scienze applicate. Consideriamo un numero complesso con r=1 (in forma trigonometrica cos α + i sen α). Vale la seguente relazione: e^i*α = cos α + i sen α
        
        In generale la scrittura re^iα si chiama forma esponenziale del numero complesso z
        
        forma trigonometrica
        
        A un numero complesso z = a + ib corrisponde un vettore OP di componenti cartesiane a e b, con P di coordinate polari [r;α}, dove r è il modulo di z e α è l'argomento di z. Valgono le relazioni: a = r cos α e b = r sen α quindi: a + ib = r cos α + i(r sen α) = r(cos α + i sen α).
        
        Possiamo quindi scrivere il numero complesso in forma trigonometrica: z = r (cos α + i sen α)
      - Possiamo rapprensentare i numeri complessi geometricamente su un piano cartesiano.
        Alla parte reale associamo l'ascissa e a quella immaginaria l'ordinata. In questo modo l'asse delle y sarà l'asse immaginario e l'asse delle x l'asse reale. Questo piano si chiama piano di Gauss
        Il punto P individuato nel piano sarà una rappresentazione equivalente del numero complesso.
        
        Possiamo individuare nel piano di Gauss un vettore v come un segmento orientato che abbia un estremo nell'origine. a e b sono le componenti cartesiane del vettore
        
        Esiste così una corrispondenza biunivoca che associa ai numeri complessi a + ib un vettore di componenti a e b
        
        Un vettore può essere rappresentato anche in coordinate polari cioè dall'angolo orientato che il vettore forma con il semiasse positivo delle x ( chiamato argomento o anomalia) e dalla distanza di P dall'origine ( raggio vettore o modulo)
        
        Dal primo teorema dei triangoli rettangoli troviamo che: a = r cos α e b = r sen α
        Viceversa possiamo ricavare le coordinate polari da a e b sapendo che: r = \sqrt{a^2+b^2} e tan α = b/a