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Álgebra Matricial (Tipos de matrices (Matriz traspuesta
Se llama matriz…
Álgebra Matricial
Matrices
Es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m×n. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Tipos de matrices
Matriz traspuesta
Se llama matriz traspuesta de una matriz cualquiera de dimensión m x n a la matriz que se obtiene al convertir las filas en columnas. Se representa con el superíndice «t»y su dimensión es por tanto n x m.
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Matriz cuadrada de orden n
Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n). En este caso, la dimensión se denomina orden, cuyo valor coincide con el número de filas y de columnas.
Matriz triangular superior
Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros:
Matriz triangular inferior
Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros:
Matriz triangular inferior
Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros:
Matriz escalar
La matriz escalar es toda matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales:
Matriz identidad
Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno, es decir, la diagonal principal está formada por 1, y el resto de los elementos son 0:
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¿Cuál es la condición para poder sumar dos matrices? Debe tener la misma dimensión, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas. Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elemtentos que ocupan el mismo lugar en cada matriz.
¿Cuál es la condición para poder multiplicar dos matrices? Solo se puede multiplicar dos matrices si sus dimensiones son compatibles , lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz. Si A es una matriz a × b y B es una matriz b × c , el producto AB es una matriz a × c .
Operaciones Elementales
Se llama operación elemental realizada en una matriz a cualquiera de las transformaciones siguientes:
a) cambiar entre sí dos filas (columnas).
Se puede representar por Fi Fj, siendo Fi y Fj dos filas de la matriz (Ci Cj, siendo Ci y Cj dos columnas de la matriz).
b) multiplicar una fila (columna) por un número real distinto de cero.
Se puede representar por Fi t Fi (Ci t Ci).
c) sumar a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por un número real.
Se puede representar por Fi Fi + t Fj (Ci Ci + t Cj).
Dos matrices A y B son equivalentes si una de ellas se puede obtener a partir de la otra mediante operaciones elementales.
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Método de Gauss-Jordan
Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1.
Se llama transformación elemental en una matriz a:
1) Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.
3) Intercambiar el lugar de dos filas entre si
Determinante
Es un escalar que sólo se puede calcular si se trata de una matriz cuadrada, es decir, aquella en que el número de filas y de columnas coincide. Para denotarlo se precede el nombre de la matriz por “det” o se incluye dicho nombre entre dos barra verticales “| |”. Propiedades:
- Si se intercambian dos filas/columnas cualesquiera de una matriz, su determinante cambia de signo.
- Si se multiplican todos los elementos de una fila/columna de una matriz por un escalar, su determinante queda multiplicado por ese escalar.
- El valor del determinante queda inalterado si se suma a cualquier fila/columna, un múltiplo de cualquier otra fila/columna.
- Si una matriz tiene dos filas/columnas iguales, su determinante es nulo.
- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
Rango
Una matriz puede ser interpretada como un conjunto de vectores columna (variables del modelo econométrico) y, por tanto, su rango puede ser interpretado como el mayor número de columnas (variables) linealmente independientes. Se denomina rango de una matriz al orden del mayor determinante no nulo que se pueda calcular con sus elementos.Propiedades
- El rango de una matriz es igual al rango de su traspuesta.
- El rango de una matriz siempre será un número menor o igual al mínimo entre el número de columnas y número de filas de la matriz.
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