Proporcionalitat geomètrica i transformacions en el pla
Proporcionalitat geomètrica
Transformacions en el pla
Teorema de Tales
Teorema de Pitàgores
Magnituds
Vectors
Translacions
Girs
Simetries
Què diu?
Triangles en posició de Tales
Què diu?
Quan es pot aplicar?
Conceptes
Catets
Hipotenusa
Són els costats que formen l'angle recte.
És el costat oposat a l'angle recte.
Només es pot aplicar a triangles rectangles.
Diu que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.
Diu que si tenim dues rectes secants que estan tallades per un conjunt de paral·leles, els segments que surten a la recta primera són proporcionals als de la segona (la distància, expressada en raons, és constant).
Dos triangles estan en posició de Tales quan tenen un angle en comú i els costats oposats a aquest angle són paral·lels. Sempre que estan així també són semblants, però a la inversa no.
Triangles semblants
Els triangles en posició de Tales no s'han de confondre amb els triangles semblants, que són triangles amb costats proporcionals i angles iguals.
Gir de centre O i angle "a"
Què fa?
Orientació dels girs
Orientació positiva
Orientació negativa
Transforma un punt (P) en un de nou (P'), de manera que l'angle POP' és igual a "a" i les distàncies OP i OP' són iguals.
El gir es fa en el sentit contrari a les agulles del rellotge.
El gir es fa en el sentit de les agulles del rellotge.
Simetria respecte a un punt
Què és?
Figures invariants d'ordre "n"
Què és el centre de gir?
Simetria d'eix "e"
Què és?
Figures amb eix de simetria
Què és una figura invariant?
Composició de simetries axials
Què és?
Què és una magnitud?
Tipus de magnituds
Una magnitud és qualsevol cosa que es pot mesurar.
Magnituds escalars
Magnituds vectorials
Són aquelles magnituds determinades per la mesura i la unitat de mesura.
Són aquelles magnituds que s'expressen en vectors.
Què és un vector?
Un vector és un segment orientat que té un mòdul, una direcció i un sentit ben determinats. Llavors, per indicar un vector necessitem dos punts (A,B), que formen un segment, i una direcció d'aquest segment.
Càlculs
Com s'ha de moure un punt (A) per arribar a un altre (B)
Càlcul del mòdul (longitud) d'un vector
Què és una translació?
Una translació és un moviment que transforma un punt (A) en un de nou (A').
Composició de translacions
Què és?
Càlcul
Per tal de calcular la translació final a la que equival una composició de translacions s'han de sumar totes les translacions que formen la composició.
Una composició de translacions és un seguit de translacions que es realitzen de manera successiva.
Què és el centre de simetria?
Una simetria central és un gir de centre O i amplitud 180º. Transforma cada punt (P) en un altre punt (P'), de manera que l'angle POP' és igual a 180º i les distàncies OP i OP' són iguals.
S'anomena centre de simetria al punt a partir del qual es fa la simetria central (O) en totes les figures en les que quan s'aplica el gir de 180º aquesta no canvia.
Si quan apliquem a una figura un gir de 360º al voltant del seu centre de gir es produeixen "n" coincidències, aquest centre es diu d'ordre "n" i la figura invariant d'ordre "n".
S'anomena centre de gir a O quan en fer un gir menor a 360º a una figura aquesta coincideix amb si mateixa.
Una simetria respecte a un eix "e" és un moviment que transforma cada punt (P) del pla en un de nou (P'), de manera que "e" és la mediatriu del segment d'extrems P i P'.
Què ha de complir?
La recta "e" ha de ser perpendicular al segment PP'.
Què és una simetria axial?
Una simetria axial és un moviment invers.
La distància de P a la recta "e" serà igual que la distància de P' a la mateixa recta.
Què és l'eix de simetria?
És una figura que no es modifica quan se li aplica una simetria axial.
És l'eix (e) a partir del qual es fa la simetria d'una figura invariant. Una figura pot tenir varis eixos de simetria.
És l'aplicació consecutiva de dues simetries axials (d'eixos "e" i "e'")
A què pot donar lloc?
Dóna lloc a un nou moviment que depèn de la situació relativa dels eixos:
Quin és el resultat d'aplicar una simetria axial sobre una figura?
Com que una translació i un gir són moviments directes, el resultat de compondre dues simetries axials és un moviment directe.
Si els eixos "e" i "e'" són paral·lels, el resultat és una translació.
Si els eixos "e" i "e'" es tallen en un punt, el resultat és un gir al voltant d'aquest punt.