Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
MTH 112 CALCULUS Midterm :tada: (Functions of Several Variables…
MTH 112 CALCULUS Midterm
:tada:
Functions of Several Variables
สิ่งที่ต้องหา
ดูว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่
หาโดเมนและหาเรนจ์
หาค่าของฟังก์ชัน
แปลงฟังก์ชันเป็นกราฟได้
ลักษณะ
มีโดเมนมากกว่า 1 ตัว มีเรนจ์ตัวเดียว
โดเมนอยู่ในจำนวนจริง
ฟังก์ชันแปลงเป็นสมการได้
สมการอาจจะแปลงเป็นฟังก์ชันได้
กราฟของฟังก์ชันสองตัวแปร
ระนาบ
รูปทั่วไป : ax+by+cz+d = 0
ในแกนสามมิติจะมีสามระนาบได้แก่ xy xz และ yz
ทรงกลม
รูปทั่วไป :
ทรงกระบอก
รูปทั่วไป f(x,y)=0 / g(x,z)=0 / h(y,z)=0
ทรงรี
รูปทั่วไป
พาราโบลอยด์
รูปทั่วไป : จะมีตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งที่มีดีกรี 1 สองตัวที่เหลือดีกรีสอง
ไฮเปอร์โบลอยด์
1 ชิ้น
รูปแบบ : ตัวแปรทั้งหมดดีกรีสองหารค่าคงที่ มีตัวแปรที่เป็นลบ 1 ตัว แล้วทั้งหมดเท่ากับ 1
2 ชิ้น
รูปแบบ : ตัวแปรทั้งหมดดีกรีสองหารค่าคงที่ มีตัวแปรที่เป็นลบ 2 ตัว แล้วทั้งหมดเท่ากับ 1
กรวย
รูปทั่วไป
โดยลบอยู่ตรงไหนก็ได้
ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลอยด์
รูปทั่วไป
สลับที่ x y z ได้
การประยุกต์อนุพันธ์ย่อย
ตัวคูณลากรานจ์ (Lagrange Multipliers)
หาสมการลากรานจ์ F(ฟังก์ชัน,เงื่อนไข)
หาจุดวิกฤตของสมการลากรานจ์
3.แทนค่าเพื่อหาคำตอบ
การหาค่าสูงสุดต่ำสุด
หาจุดวิกฤต คือ fx = 0 และ fy =0
หาว่าจุดไหนเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
หาว่าจุดวิกฤตที่ได้มาเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด
แทนค่าสมการ fxx(a,b) * fyy(a,b) - f^2xy(a,b)
+
fxx > 0 เป็นจุดสูงสุด
fxx < 0 เป็นจุดต่ำสุด
0
ไม่สามารถสรุปได้
-
แสดงว่าเป็นจุดอานม้า
ผลต่างอนุพัทธ์รวม (total differential)
สมการ : f(x+dx,y+dy)=df + f(x,y)
ใช้ในการคำนวณค่าจากสมการที่มีเลขยาก เช่น 3.99
ผลต่าง x ประมาณ dx ผลต่าง y ประมาณ dy ผลต่าง f ประมาณ df
Chain Rules for Partial Derivatives
ถ้า y = f(x) & t = g(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ กฎลูกโซ่ของของฟังก์ชัน y(g(x)) คือ
สามารถขยายผลของกฎลูกโซ่ได้มากกว่าหนึ่งตัวแปร
อนุพันธ์อันดับสูง
ข้อสังเกต
มีการดิฟฟังก์ชัน 2 รอบ ขึ้นไป
: เป็นการหาอนุพันธ์ย่อยเรียงลำดับจากซ้าย-ขวา
: เป็นการหาอนุพันธ์ย่อยเรียงลำดับจากขวา-ซ้าย
Implicit Differentiation
ฟังก์ชันที่ไม่สามารถแยกฝั่งโดเมนและเรนจ์ได้
ต้องจัดรูปฟังก์ชันให้ตัวแปรอยู่ฝั่งเดียวกันแล้วอีกฝั่งเป็น 0
ให้ z = f(x,y) เป็นฟังก์ชันปริยาย นิยามโดยF(x,y,z) = 0 โดยฟังก์ชันลูกโซ่จะได้
นิยามจาโคเบียน : Jacobian
กำหนดให้ f(x,y) = 0 & g(x,y) = 0 แล้วจาโคเบียนของf,g เทียบ x,y จะเขียนแทนด้วย
