(G2.) Ondes électromagnétiques dans les milieux conducteurs

$G2.$ Ondes électromagnétiques dans les milieux conducteurs

Pour des ondes peu dispersives et peu absorbées, $v_g\simeq v_e$

Rappels sur les oeppm*

Milieux conducteurs ohmiques
et effet de peau

Ondes dans les plasmas

Toujours revenir en réel avant d'interpréter :

La vitesse de groupe $v_g=\displaystyle\frac{d\omega}{dk_1}$

Une oeppm* : $\underline{\vec{\Psi}}_{oeppm*}=\underline{\vec{\Psi_0}}\exp{\left[i\left(\omega t-\vec{\underline{k}}.\vec{r}\right)\right]}$

❗ Une oeppm* en $e^{i\left(\omega t-\underline{\vec{k}}.\vec{r}\right)}$ a une structure

$\vec{\underline{k}}.\underline{\vec{B}}=0$
$\underline{\vec{B}}=\displaystyle\frac{\underline{\vec{k}}\wedge\underline{\vec{E}}}{\omega}$

Si toutes les composantes de la forme $\underline{\Psi}=\underline{\Psi}_0\exp\left[i\left(\omega t-\underline{\vec{k}}.\vec{OM}\right)\right]$ alors
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}=i\omega\times~~\text{et}~~\vec{\nabla}*=(-i\underline{\vec{k}})*$

Dispersive si $v_{\varphi}$ dépend de $\omega$
Absorption si l'amplitude décroit selon $x$

❗ Lois de réponse (relations constitutives) dans conducteur ohmique à BF : $\vec{j}=\gamma_0\vec{E} ~~\&~~\rho=0$

❗ Approximation de l'effet de peau : $\displaystyle\frac{\varepsilon_0\frac{\partial \tilde{E}}{\partial t}}{\gamma_0\tilde{E}}\ll1$

Dans un conducteur ohmique, le champ électrique vérifie :

❗ Modèle du conducteur parfait : $\gamma\to+\infty$
Donne $\vec{E}=\vec{0}~~\&~~\rho=0$

Vérifie loi locale d'Ohm avec $\underline{\gamma}=\displaystyle\frac{nq^2}{i\omega m}$

❗ Pulsation plasma : $\omega_p=e\sqrt{\displaystyle\frac{n}{m_e\varepsilon_0}}$
Neutralité locale ssi $\omega\neq\omega_p$

❗ Un plasma est un gaz ionisé supposé non relativiste, peu dense et localement neutre

❗ La vitesse d'énergie $\vec{v_e}=\displaystyle\frac{\langle \vec{\Pi}\rangle } { \langle u_{onde}\rangle }$

où $\langle u_{onde} \rangle=\langle u_e \rangle+\langle u_m \rangle+\langle u_c \rangle$
où $\langle u_c\rangle=\frac{1}{2} \text{Re}\left[\frac{1}{2} m_e \underline{\vec{v}}.\underline{\vec{v}}^*\right]$

❗ Vérifie relation de Klein-Gordon : $\underline{k}^2=\displaystyle\frac{\omega^2-\omega^2_p}{c^2}$

si $\omega<\omega_p$ $\to$ évanescente
si $\omega>\omega_p$ $\to$ oeppm

❗ Pour oeppm* de la forme $\underline{\vec{E}}=\underline{\vec{E}}_0e^{i\left(\omega t-\underline{\vec{k}}.\vec{r}\right)}$ où $\underline{\vec{k}}=\vec{k_1}+i\vec{k_2}$

phase propagative suivant $\vec{k_1}$ avec $v_{\varphi}=\displaystyle\frac{\omega}{||\vec{k_1}||}$
amortissement suivant $\vec{k_2}$ avec distance $\delta=\displaystyle\frac{1}{||\vec{k_2}||}$
Une onde amortie non propagée est dite évanescente

Pour des ondes peu dispersives et peu absorbées, $v_g\simeq v_e$

⚠ Toujours revenir aux réels car, a priori :

ni transverse magnétique ni électrique
$\vec{E}$ et $\vec{B}$ pas en phase
$\vec{E}$ et $\vec{B}$ pas orthogonaux
$(\vec{E},\vec{B},\vec{k})$ pas trièdre droit

Vecteur d'onde : $\underline{k}=\displaystyle\frac{1-i}{\delta}$

❗ Épaisseur de peau : $\delta=\sqrt{\displaystyle\frac{2}{\mu_0\gamma_0\omega}}$

❗ Équation de diffusion : $\Delta \vec{E}=\mu_0\gamma_0\displaystyle\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

Relation de diffusion de l'effet de peau : $\underline{k}^2=-i\mu_0\gamma_0\omega$