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概率论与数理统计 (常用辅助函数 (\[\Gamma(n)=\int_{0}^{+\infty}t^{n-1}\cdot e^{-t}dt\]…

- - - - \(X \sim f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|} \)
  - - - \(\begin{split} f_Z(z) &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,z-x)dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f(z-y,y)dy \end{split} \)
- - - - 随机变量的数字特征
        
        \(协方差Cov(X,Y)\)
        
        定义\(Cov(X,Y)=E([X-E(X)][Y-E(Y)])\) #
        
        \(\color{#F00}{Cov(X,Y)=E(YX)-E(X)E(Y)}\)
        
        \(特别当X,Y不相关，Cov(X,Y) = 0\)
        
        \(Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\)
        
        \(Cov(X,X)=D(X)\)
        
        性质
        
        \(1^{。}Cov(aX,bY)=\color\red{ab}Cov(X,Y),a,b是常数\)
        
        \(2^{。}Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(\color\red{X_1},Y)+Cov(\color\red{X_2},Y)\)
        
        为避免受到量纲的影响，引入
        
        (线性)相关系数 #
        
        定理
        
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        定义
        
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        \(从例2可以看到，当（X，Y）服从二维正态分布时，X和Y不相关与X 和Y相互独立是等价的．\)
        
        矩、协方差矩阵
        
        \[计算均值\]
        
        \[权重不等\]
        
        随机变量
        
        \[随机变量X/Y的期望\]
        
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        \[ \color{#F00}{随机变量的函数}的数学期望\]
        
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        数学期望的几个重要性质
        
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        \[衡量各点相对均值的偏离程度\]
        
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        \[条件期望\]
        
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        常考分布的期望，方差
        
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        \[权重相等\]
        
        \[平均数\]
        
        当事件A的概率是由多个因素共同导致的结果
        
        \(多维随机变量\)
        
        二维随机变量
        
        \(样本空间:\)
        
        \(基本概念\)
        
        \((X,Y)的分布函数\)
        
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        \(边缘分布F_X(x)和F_Y(y)\)
        
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        \(独立\)
        
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        \(分布\)
        
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        离散型
        
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        \(连续型\)
        
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        \(二维随机变量函数的分布\)
        
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        当某个事件A的发生概率只与1个因素相关
        
        \(1维随机变量\)
        
        基本概念
        
        \(以大写字母X,Y,Z,W\cdots 表示随机变量，而已小写字母x,y,z,w\cdots 表示实数\)
        
        \(P \{ X\in L\} =P \{ B \} =P \{ e \mid X(e)\in L\} \)
        
        \(定义:设随机试验的样本空间为S=\{e \} .X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量。\)
        
        随机变量函数的分布
        
        定义法
        
        \[基本概念\]
        
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        要点
        
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        公式法
        
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        随机变量的函书仍然是随机变量
        
        \(随机变量数目\)
        
        \(不可数无穷多个随机变量\)
        
        \(f(x)是非负可积函数\)
        
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        既不是离散型也不是连续型随机变量
        
        \(有限/ 可列个\)
        
        离散型随机变量
        
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        \(分布函数\)
        
        定义
        
        \(F(x) = P \{ X \leq x\} (x \in R)\)
        
        对
        
        \(概率密度函数f(x)\) #
        
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        \(分布律，分布列，概率分布p_i\) #
        
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        性质(分布函数判别条件) :!!:
        
        \(0 \leq F(x)\leq1,且 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F(-\infty)=\lim_{x \rightarrow -\infty}F(x)=0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F(+\infty)=\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)=1 \)
        
        \(单调不减,x_1 < x_2 \Rightarrow F(x_1)\leq F(x_2)\)
        
        \(右连续性，F(x+0) = F(x)\)
        
        \( 任意x_1 < x_2，P \{ x_1 < X \leq x_2\} =F(x_2)-F(x_1)\)
        
        \(任意x, P\{X=x\} = F(x)-F(x-0) = F(x)-F(x^-)\)
  - - - 包含
        
        \(如果事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的样本点也属于B，则称事件B包含事件A,或称事件A包含于事件B。记作\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ B \supset A\ \ 或\ \ A \subset B \)
      - 事件的相等
        
        \(A = B \Leftarrow \Rightarrow A \subset B\ and\ B \subset A\)
      - 事件的并（和）
        
        \(和事件：\)
        
        是这样一个事件，n个事件中至少有一个事件发生的事件,
        
        \(\sum_{k=1}^\infty A_k\)
        
        交事件：
        
        \(两个事件A与B同时发生，即A且B,是一个事件，称为事件A与事件B的交，它是由同时属于A和B的样本点构成的集合。\)
        
        \(A \bigcap B或AB\)
      - 对立事件
        
        \(如果每一次实验中，{\bf事件A和事件B\color{red} 必\color{red}有一个发生}，\\但又不能同时发生，则称事件A与事件B为对立事件，也称A与B为互逆事件。\)
        
        \(事件A的对立事件叫“A逆，非A”,记作 \overline{A} = \{ x\in S | x \notin A \}\)
        
        逆运算的性质\(B=\overline{A}\)
        
        \(A \bigcap \overline{A}= A\overline{A} = \emptyset \)
        
        两者不能同时发生
        
        \(A\bigcup \overline{A} = S\)
        
        两者必有一个发生
        
        \(\overline{A} = S-A\)
        
        \(A \bigcap B= AB = \emptyset \)
        
        \(A\bigcup B = S\)
      - 事件的差
        
        事件A发生，而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差
        
        \(记作A-B：属于A但不属于B的样本点构成的集合\)
        
        \(A-B=A \overline{B} = A-AB\)
      - 互不相容事件基本事件两两互不相容对立事件一定互不相容,但互不相容事件未必对立
        
        \(如果事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B互不相容\\（或称他们互斥）\)
        
        \(互不相容的事件没有公共的样本点，AB=\emptyset\)
      - 完备事件组
        
        \(如果事件A_1,A_2,\cdots,A_n两两互不相容，并且\\A_1\bigcup \cdots \bigcup A_n = S\\则称A_1,\cdots,A_n是一个完备事件组。\)
        
        每一次实验中，完备事件组中有且仅有一个事件发生
    - - \(A+BC = (A+B)(A+C)\)
      - \(A(B+C)=AB+AC\)
      - \(A\bigcup(B \bigcap C)= (A \bigcup B)\bigcap (A\bigcup C)\)
    - - \(\overline{A+B}=\overline{A\bigcup B}=\overline{A} \bigcap \overline{B}=\overline{A} \overline{B}\)
        
        \("A和B都不发生"等价于"非A和非B都发生"\)
      - \(\overline{AB} =\overline{A\bigcap B}=\overline{A} \bigcup \overline{B}= \overline{A}+\overline{B}\)
        
        \("A与B不同时发生"等价于"非A，非B至少有一个发生"\)
  - - - \(包含\)
      - \(互斥\)
        
        \(\text{注意：两个事件互斥表示其中一个会影响另一个发生的概率，}\\ \text{说明两者不独立。}\color\red{不可能事件除外，与任意事件独立}\)
        
        独立且互斥
        
        0概率事件
        
        \( ②P(A) = 0 \)
        
        \(概率为0 不一定是不可能事件 \)
        
        \(比如几何概率中的一点，面积/长度为0。\)
        
        \( ①P(\emptyset) = 0 不可能事件\)
        
        \(对立事件(逆事件)\)
        
        \( P(\overline{A}\bigcap \overline{B}) =P(\overline{A\bigcup B}) = 1-P(A\bigcup B)=1-P(A+ B)\) :!!:
      - \(相等\)
    - - \(\text{独立}\)
        
        \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\)
        
        \(推广到n种情况\)
        
        \(P(A_1A_2A_3\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2)P(A_3)\cdots P(A_n)\)
        
        \(P(\bigcup_{i=1}^n) = 1 - \prod_{i=1}^n[1-P(A_i)]\)
        
        两者\(\color\red{(逆)}事件\)可能互斥，也可能不互斥
        
        \( 当 0< P(A) < 1 时，A与B独立等价于\color\red{P(A|B)= 1- P(\overline{A} | \overline{B})}=P(A | \overline{B}),\\ 或P(B|A)=P(B) \)
        
        \(P(A|B)+P(\overline{A}|\overline{B})=1\)
        
        1概率事件
        
        包含所有事件，也和所有事件独立 :!:
        
        \(①P(\Omega) = 1必然事件\)
        
        \(②P(A) = 1\)
        
        \(1概率事件不一定是必然事件\)
        
        \(比如一点落在总长度为1的线段上，\\其中落在(0,\frac{1}{2})的概率+(\frac{1}{2},1)的概率和为1，\\但并非必然事件，因为可能落在\frac{1}{2}这一点上，\\而这一点并不在意上述1概率事件中\)
        
        \(\color\red{事件能得出概率的结论，但概率得不出事件的结论}\)
        
        \(\color\red{3个事件两两独立\neq 3个事件相互独立}\\当A\bigcap B发生后，C可能成为必然。即： P(CAB)=P(C|AB)\cdot P(AB)\)
  - - - \(P(A\bigcup B)=P(A+ B) = P(A) + P(B) - P(A\bigcap B) \)
        
        \(P(AB)求法\)
        
        若独立
        
        非独立
        
        \(P(AB) = P(B)\cdot P(A|B)(P(B)>0) \)
        
        \(P(AB)=P(A)P(B|A)\)
        
        \(P(AB)=P(B)P(A|B)\)
        
        \(P(AB) = P(A)-P(A\overline{B})\)
        
        \(P(AB) = P(A)+P(B)-P(A+B)\)
        
        \(若A\bigcup B为\Omega \)
        
        \(P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-1\)
    - - \(\color\red{P(A-B)=P(A)-P(AB)=p(A\overline{B})}\)
    - - \(P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)\)
    - - 全概率公式
        
        \(P(B) = \sum_{i=1}^nP(A_i)\cdot P(B|A_i)\)
      - \(P(A_j|B) = \frac{P(A_jB)}{P(B)} = \frac{P(A_j)\cdot P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}\)
      - \(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)
- - - - \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \overset{P} \Longrightarrow \color\red{E(X_i)} \)
        
        参数估计的铺垫
- - - - \(\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
    - - \(\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n )\)
    - - \(E( \hat{\theta} ) = \theta \)
      - 更有效估计
        
        \( \hat{\theta_1}和 \hat{\theta_2}都是\theta 的无偏估计量，若D(\hat{\theta_1}) \leq D(\hat{\theta_2})，则称 \hat{\theta_1} 比\hat{\theta_2}更有效 \)
      - 一致估计量
  - - - \(矩估计法\)
        
        用样本矩的函数估计总体矩相应的函数
        
        \(用样本矩估计相应总体的矩 \)
        
        一阶矩
        
        \(样本一阶原点矩\overline{X}\)
        
        \(总体一阶原点矩:E(X)\)
        
        \(二阶矩\)
        
        \(总体二阶原点矩E(X^2) \)
        
        \( 样本二阶原点矩\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)
        
        \(l阶矩\)
        
        \(总体的l阶矩：\alpha = E(X^l)\)
        
        \(样本的l阶矩：A_l = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^l\)
      - 最大似然估计法
        
        \(解法\)
        
        \(先写出似然函数，然后对待估计参数求偏导，得到偏导为0，解得目标\color\red{最大似然估计值}，最后将小写字母替换为大写字母\color\red{最大似然估计量}\)
        
        一般是驻点
        
        两边取对数
        
        似然函数
        
        \(L(\theta) = L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta) = \prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta) \)
    - - \(定义：P\{\theta_1 < \theta < \theta_2\} = 1- \alpha \)
        
        \(\alpha :正态分布的上\alpha分位点的概率\alpha\)
      - \(\mu未知，\sigma^2已知\)
      - \(\mu未知，\sigma^2未知\)