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概率论与数理统计 (常用辅助函数 (\[\Gamma(n)=\int_{0}^{+\infty}t^{n-1}\cdot e^{-t}dt\]…
概率论与数理统计
常用辅助函数
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\(卷积公式\)
\(Z = X+Y\)的情况
\(\begin{split} f_Z(z) &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,z-x)dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f(z-y,y)dy \end{split} \)
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\(随机事件和概率\)
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事件的运算规律
事件之间的关系
包含
\(如果事件A发生必然导致事件B发生,即属于A的样本点也属于B,则称事件B包含事件A,或称事件A包含于事件B。记作\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ B \supset A\ \ 或\ \ A \subset B \)
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事件的并(和)
\(和事件:\)
是这样一个事件,n个事件中至少有一个事件发生的事件,
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交事件:
\(两个事件A与B同时发生,即A且B,是一个事件,称为事件A与事件B的交,它是由同时属于A和B的样本点构成的集合。\)
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对立事件
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\(事件A的对立事件叫“A逆,非A”,记作 \overline{A} = \{ x\in S | x \notin A \}\)
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完备事件组
\(如果事件A_1,A_2,\cdots,A_n两两互不相容,并且\\A_1\bigcup \cdots \bigcup A_n = S\\则称A_1,\cdots,A_n是一个完备事件组。\)
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德摩根率
\(\overline{A+B}=\overline{A\bigcup B}=\overline{A} \bigcap \overline{B}=\overline{A} \overline{B}\)
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\(\overline{AB} =\overline{A\bigcap B}=\overline{A} \bigcup \overline{B}= \overline{A}+\overline{B}\)
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\(\text{事件的关系}\)
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通过概率定义
\(\text{独立}\)
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\( 当 0< P(A) < 1 时,A与B独立等价于\color\red{P(A|B)= 1- P(\overline{A} | \overline{B})}=P(A | \overline{B}),\\ 或P(B|A)=P(B) \)
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1概率事件
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\(②P(A) = 1\)
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\(比如一点落在总长度为1的线段上,\\其中落在(0,\frac{1}{2})的概率+(\frac{1}{2},1)的概率和为1,\\但并非必然事件,因为可能落在\frac{1}{2}这一点上,\\而这一点并不在意上述1概率事件中\)
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\(大数定理和中心极限定理\)
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\(\sum_{1}^{n}X_i \sim \color\red{N(n\mu,n\sigma^2)}\)
\(参数估计\)
点估计
\(估计量\)
\(\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
估计值
\(\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n )\)
无偏估计
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更有效估计
\( \hat{\theta_1}和 \hat{\theta_2}都是\theta 的无偏估计量,若D(\hat{\theta_1}) \leq D(\hat{\theta_2}),则称 \hat{\theta_1} 比\hat{\theta_2}更有效 \)
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\(估计量求法和区间估计\)
\(估计量求法\)
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最大似然估计法
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似然函数
\(L(\theta) = L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta) = \prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta) \)
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