Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
寒假數學課 (機率統計 (實例2：設袋中有 10 元，5 元硬幣各 3 枚，自袋中任取 2 枚，求期望值為多少？, 1,…
寒假數學課
機率統計
實例2：設袋中有 10 元，5 元硬幣各 3 枚，自袋中任取 2 枚，求期望值為多少？
實例1：任意丟擲一粒質料均勻的骰子，若出現a點可得a元，求期望值是多少？
任意丟擲一粒質料均勻的骰子三次。設三次中至少出現一次 1 點的事件為A，三
件中至少出現一次 2 點的事件為B。
(1)A不發生的機率。
(2)A發生的機率。
(3)A與B都發生的機率。
(4)A或B發生的機率。
排列組合
例題1：把1至3這3個數字進行「全排列」，共有多少種排法？試列出所有排法。
答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6種排法，這6種排法為1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。
例題2：從1至4這4個數字中抽2個出來排序，共有多少種排法？試列出所有排法。
答2：共有P(4, 2) = 4! / 2! = (4 × 3 × 2!) / 2! = 4 × 3 = 12種排法。這 12種排法是1-2；1-3；1-4；2-1；2-3；2-4；3-1；3-2；3-4；4-1；4-2；4-3。
例題3：從1至4這4個數字中抽2個出來(不考慮次序)，共有多少種組合？試列出所有組合。
共有C(4, 2) = 4! / (2! × 2!) = (4 × 3 × 2!) / (2! × 2!) = (4 × 3) / 2 = 6種組合。這6種組合是1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4。請注意如果我們把上述6種組合 的每一種排序，由於每一組合均包含兩個數字，所以每一組合各有兩種排序方式(例如從1,2可得到1-2和2-1兩 種排序方式)，這樣從4個數字中抽2個出來排序的排法便有6 × 2 = 12種，這正與例題2的解答完全一致 。
例題4：用1和2這兩個數字可以構造多少個包含3個1的八位整數？
本題初看似應理解為一個「排列」問題，可不是嗎？11122222跟22222111是兩個不同的八位整 數，由此可見，本題必須考慮八位整數中1和2的次序，因此似乎應運用「排列公式」。可是想深一層，本題其 實已規定了所求的八位整數必須包括3個1和5個2，因此我們已無須考慮這些八位整數應包含哪些數字，而只須 考慮這些數字的位置。而且由於這些八位整數只包含兩種數字，我們只需確定其中一種數字(例如1)的位置便確 定了整個八位整數，例如如果我們確定那3個1位於第1、第3和第5位，我們便確定這個八位整數是12121222。因 此確定本題的八位整數便等同於從8個位置中選出3個位置來安放那3個1，而且由於把代表位置的數字列出來無 所謂誰先誰後(註2)，因此本題其實應理解為一個「組合」問題，所求答案是C(8, 3) = 8! / (5! × 3!) = (8 × 7 × 6 × 5!) / (5! × 3!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2) = 56。
公式:P(n, r) = n! / (n − r)!
公式:C(n, r) = n! / ((n − r)! × r!)
公式:C(n, n − r) = n! / (r! × (n − r)!)
