Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
\(G1.\) Ondes électromagnétiques dans le vide et réflexion (Solutions en…
\(G1.\) Ondes électromagnétiques dans le vide et réflexion
Rappels sur les équations de propagation dans le vide
Dans le VIDE
: \(\Delta \vec{E}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0\) et \(\Delta \vec{B}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=0\)
Au passage d'une interface,
\(\vec{E_{2T}}=\vec{E_{1T}} \)
\(\vec{E_{2N}}-\vec{E_{1N}}=\displaystyle\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{n_{12}}\)
\(\vec{B_{2N}}=\vec{B_{1N}}\)
\(\vec{B_{2T}}-\vec{B_{1T}}=\mu_0\vec{j_s}\wedge\vec{n_{12}}\)
Solutions en oepp
Ondes planes
Dans le VIDE
: \(\vec{\Psi}_{oep}=\vec{\Psi}_{oepp+}(t-x_u/c)+\vec{\Psi}_{oepp-}(t+x_u/c)\)
Une onde
progressive
: \(\vec{\Psi}_{oepp}(\vec{u}.\vec{r}-ct)\) où \(\vec{u}\) est sens de propagation et \(\vec{r}=\vec{OM}\)
Ne dépend pas de \(x_u\) pour une onde se propageant selon \(\vec{x_u}\)
:!:
Structure
des oepp dans le
vide
selon \(c\vec{u}\)
Transverse électrique
: \(\vec{u}.\vec{E}=0\)
Transverse magnétique
: \(\vec{u}.\vec{B}=0\)
Relation de structure
: \(\displaystyle\vec{B}=\frac{1}{c}\vec{u}\wedge\vec{E}\)
\((\vec{E},\vec{B},\vec{u})\) forme trièdre droit
Remarques quant aux complexes
\(f*g=\frac{1}{2}Re[\underline{f}*\underline{g^*}]\) où \(\underline{g^*}=\underline{\overline{g}}\)
par exemple pour \(\vec{\Pi}\)
Conseils
Toujours souligner les complexes
Faire attention à la formule complexe adoptée : \(j\omega t\) et \(\pm\vec{k}.\vec{r}\) ? de quoi dépend \(\vec{E_0}\) ?
Surveiller les produits entre champs
Solution de DA dans le
vide
: \(\displaystyle\sum_{\vec{u}}\vec{\Psi}_{oepp,\vec{u}}\)
:!:
Structure
des
oeppm
dans le
vide
selon \(\vec{k}\)
Transverse électrique
Transverse magnétique
\(\vec{B}=\displaystyle\frac{1}{w}\vec{k}\wedge\vec{E}\)
\((\vec{E},\vec{B},\vec{k})\) forme un trièdre droit
\(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont en phase
:!: Une oepp
monochromatique
: \(\vec{\Psi}_{oeppm}=\vec{\underline{\Psi}}_0e^{j(\omega t-\vec{k}.\vec{r})}\) par exemple
\(\omega=2\pi/T\) et \(||\vec{k}||=2\pi/\lambda\)
Relation de dispersion
dans le vide
: \(||\vec{k}||=\displaystyle\frac{\omega}{c}\) et \(v_{\varphi}=c\)
où \(v_{\varphi}=\frac{w}{c}\) est la vitesse de phase
Les fréquences usuelles
Ondes radio
jusqu'à \(3~ GHz\)
Micro ondes
jusqu'à \(300~ GHz\)
Rayons X
à partir de \(1,2~ keV\)
N'ont pas de sens physique car d'extension temporelle et spatiale infinies
Polarisation
:!: États de polarisation
C'est la trajectoire \(\mathcal{T}\) de la pointe de \(\vec{E}\) si l'onde vient vers soi
\(\mathcal{T}\) segment \(\to\) rectiligne
\(\mathcal{T}\) ellipse ou cercle : à orienter dans le sens du haut de la pointe
:!: Écriture d'une
oeppmpr
: \(\vec{E}(M,t) = \vec{E_0}cos(\omega t-\vec{k}.\vec{r} - \varphi_0)\)
:warning: \(\vec{\underline{E}_0}\) donne elliptique
La
polarisation
d'une
oepp TE
: direction de \(\vec{E}\)
Comment polariser ?
:!: Polariseur polarise selon son axe \(\vec{u}\) :
\(\vec{E'}=(\vec{E}.\vec{u})\vec{u}\)
Loi de Malus
: en faisant passer par un analyseur après un polariseur :
\(I=I_{max}\cos^2\alpha\)
Si \(\alpha =0 [\pi]\), intensité maximale :
configuration parallèle
Si \(\alpha = \pi/2 [\pi]\), intensité nulle :
configuration croisée
Rappel : intensité vibratoire : \(I =2 < E^2 > \)
Applications : appareils photos pour éliminer reflets, lunettes de soleil, certains lasers sont polarisés
Aspects énergétiques
:!:
Vitesse d'énergie
: \(\vec{v_e}=v_e\vec{u}=\displaystyle\frac{<\vec{\Pi}>}{< u_{em} >}\)
Dans cas d'une oepp dans vide : \(\vec{v_e}=c\vec{u}\)
Fréquences élevées des ondes emag \(\Rightarrow\) penser aux valeurs moyennes !
Dans le cas d'une
oepp dans le vide
il y a
équirépartition
de l'énergie emag
Autres situations
Onde totale pour une
incidence oblique
d'angle d'incidence i
\(\vec{E}=2E_0\sin(\omega t+\frac{\omega}{c}\sin(i)y)\sin(\frac{\omega}{c}\cos(i)z)\vec{e_x}\)
L'onde réfléchie respecte les lois de Descartes de la réflexion
Stationnaire suivant \(z\)
Progressive suivant \(y\)
TE et polarisée rectilignement suivant \(\vec{e_x}\)
Monochromatique et non plane
:!: Toujours vérifier les conditions aux limites : \(div~\vec{E}=0=div~\vec{B}\) et \(\vec{E_T}\) nul sur les parois
Guides d'onde
\(\vec{E}_{n0}=E_{0,n0}\sin(k_{n0}x)\sin(\omega t-K_{n0}z)\vec{e_y}\)
On retrouve
Klein-Gordon
: \(\displaystyle K_{n0}^2=\frac{\omega^2-\omega_{n0,c}^2}{c^2}\) :!:
On a la contrainte de \(\omega > \frac{n\pi c}{a}\) où \(a\) est la largeur du guide d'onde sinon onde évanescente
Cavité résonante et modes propres
On peut déterminer par séparation des variables et équation de d'Alembert
En ordre de grandeur, \(\lambda_{max}=2L\)
Il faut avoir des interférences constructives : \(\delta_A=(n+1)\lambda_{0,n}=2L+2\frac{\lambda_{0,n}}{2}\)
On rappelle formules de
vitesse de phase
: \(v_{\varphi}=\frac{\omega}{k}\)
vitesse de groupe
\(v_g=\frac{d\omega}{dk}\)
Réflexion d'une oeppmpr en
incidence normale sur un conducteur parfait
Coefficients de
réflexion
et de
transmission
:
\(\underline{r}_{12}=\displaystyle\frac{\underline{E}_r}{\underline{E}_i}\) et \(\underline{t}_{12}=\displaystyle\frac{\underline{E}_t}{\underline{E}_i}\)
Pour oeppmpr en incidence
normale
sur conducteur
parfait
\(\underline{r}=-1\) et \(\underline{t}=0\)
Pour calculer \(\underline{B}_r\), utiliser structure ou Maxwell-Faraday
:!: Caractérisation de l'onde réfléchie (conducteur fixe)
oeppmpr même pulsation et même amplitude
\(\vec{E_r}\) est en opposition de phase avec \(\vec{E_i}\)
Onde totale dans le vide
\(\vec{v_e}=\vec{0}\)
:!: Le conducteur parfait développe \((\sigma=0, \vec{j_s}\neq\vec{0}\)) à sa surface afin de produire un champ emag propre qui
\(\to\) s'oppose à \((\vec{E}_i, \vec{B}_i)\) dans le conducteur
\(\to\) correspond à \((\vec{E}_r, \vec{B}_r)\) dans le vide
\(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) en quadrature de phase dans l'espace et dans le temps
\(\to\) nœuds de l'un sont ventres de l'autre
Pression de radiation est due à la moyenne des champs de part et d'autre de l'interface
\(P_{rad}=\varepsilon_0 E^2\)
Cohérent avec l'aspect corpusculaire
rappel : quantité de mouvement d'un photon : \(\displaystyle\frac{h\nu}{c}\)
\(\vec{E}=\vec{E}_i \bigoplus\vec{E}_r=2E_0\sin(kz)\sin(\omega t)\vec{e_x}\)
C'est une oep
s
mpr ie de la forme \(f(x_u)g(t)\)
Il ne respecte pas les relations de structure !!!
