G1. Ondes électromagnétiques dans le vide et réflexion
Rappels sur les équations de propagation dans le vide
Solutions en oepp
Polarisation
Aspects énergétiques
Autres situations
Réflexion d'une oeppmpr en
incidence normale sur un conducteur parfait
Dans le VIDE : \(\Delta \vec{E}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0\) et \(\Delta \vec{B}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=0\)
Au passage d'une interface,
\(\vec{E_{2T}}=\vec{E_{1T}} \)
\(\vec{E_{2N}}-\vec{E_{1N}}=\displaystyle\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{n_{12}}\)
\(\vec{B_{2N}}=\vec{B_{1N}}\)
\(\vec{B_{2T}}-\vec{B_{1T}}=\mu_0\vec{j_s}\wedge\vec{n_{12}}\)
Ondes planes
❗ Structure des oepp dans le vide selon \(c\vec{u}\)
- Transverse électrique : \(\vec{u}.\vec{E}=0\)
- Transverse magnétique : \(\vec{u}.\vec{B}=0\)
- Relation de structure : \(\displaystyle\vec{B}=\frac{1}{c}\vec{u}\wedge\vec{E}\)
- \((\vec{E},\vec{B},\vec{u})\) forme trièdre droit
Remarques quant aux complexes
Solution de DA dans le vide : \(\displaystyle\sum_{\vec{u}}\vec{\Psi}_{oepp,\vec{u}}\)
❗ Structure des oeppm dans le vide selon \(\vec{k}\)
- Transverse électrique
- Transverse magnétique
- \(\vec{B}=\displaystyle\frac{1}{w}\vec{k}\wedge\vec{E}\)
- \((\vec{E},\vec{B},\vec{k})\) forme un trièdre droit
- \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont en phase
❗ Une oepp monochromatique : \(\vec{\Psi}_{oeppm}=\vec{\underline{\Psi}}_0e^{j(\omega t-\vec{k}.\vec{r})}\) par exemple
\(\omega=2\pi/T\) et \(||\vec{k}||=2\pi/\lambda\)
❗ Vitesse d'énergie : \(\vec{v_e}=v_e\vec{u}=\displaystyle\frac{<\vec{\Pi}>}{< u_{em} >}\)
Dans cas d'une oepp dans vide : \(\vec{v_e}=c\vec{u}\)
Fréquences élevées des ondes emag \(\Rightarrow\) penser aux valeurs moyennes !
Dans le cas d'une oepp dans le vide il y a équirépartition de l'énergie emag
❗ États de polarisation
❗ Écriture d'une oeppmpr : \(\vec{E}(M,t) = \vec{E_0}cos(\omega t-\vec{k}.\vec{r} - \varphi_0)\)
⚠ \(\vec{\underline{E}_0}\) donne elliptique
La polarisation d'une oepp TE : direction de \(\vec{E}\)
Comment polariser ?
Coefficients de réflexion et de transmission :
\(\underline{r}_{12}=\displaystyle\frac{\underline{E}_r}{\underline{E}_i}\) et \(\underline{t}_{12}=\displaystyle\frac{\underline{E}_t}{\underline{E}_i}\)
Pour oeppmpr en incidence normale sur conducteur parfait
\(\underline{r}=-1\) et \(\underline{t}=0\)
Pour calculer \(\underline{B}_r\), utiliser structure ou Maxwell-Faraday
❗ Caractérisation de l'onde réfléchie (conducteur fixe)
- oeppmpr même pulsation et même amplitude
- \(\vec{E_r}\) est en opposition de phase avec \(\vec{E_i}\)
Onde totale dans le vide
Onde totale pour une incidence oblique
d'angle d'incidence i
\(\vec{E}=2E_0\sin(\omega t+\frac{\omega}{c}\sin(i)y)\sin(\frac{\omega}{c}\cos(i)z)\vec{e_x}\)
L'onde réfléchie respecte les lois de Descartes de la réflexion
❗ Toujours vérifier les conditions aux limites : \(div~\vec{E}=0=div~\vec{B}\) et \(\vec{E_T}\) nul sur les parois
Guides d'onde
\(\vec{E}_{n0}=E_{0,n0}\sin(k_{n0}x)\sin(\omega t-K_{n0}z)\vec{e_y}\)
Cavité résonante et modes propres
Dans le VIDE : \(\vec{\Psi}_{oep}=\vec{\Psi}_{oepp+}(t-x_u/c)+\vec{\Psi}_{oepp-}(t+x_u/c)\)
Une onde progressive : \(\vec{\Psi}_{oepp}(\vec{u}.\vec{r}-ct)\) où \(\vec{u}\) est sens de propagation et \(\vec{r}=\vec{OM}\)
\(f*g=\frac{1}{2}Re[\underline{f}*\underline{g^*}]\) où \(\underline{g^*}=\underline{\overline{g}}\)
par exemple pour \(\vec{\Pi}\)
Conseils
- Toujours souligner les complexes
- Faire attention à la formule complexe adoptée : \(j\omega t\) et \(\pm\vec{k}.\vec{r}\) ? de quoi dépend \(\vec{E_0}\) ?
- Surveiller les produits entre champs
C'est la trajectoire \(\mathcal{T}\) de la pointe de \(\vec{E}\) si l'onde vient vers soi
- \(\mathcal{T}\) segment \(\to\) rectiligne
- \(\mathcal{T}\) ellipse ou cercle : à orienter dans le sens du haut de la pointe
Rappel : intensité vibratoire : \(I =2 < E^2 > \)
Applications : appareils photos pour éliminer reflets, lunettes de soleil, certains lasers sont polarisés
❗ Polariseur polarise selon son axe \(\vec{u}\) :
\(\vec{E'}=(\vec{E}.\vec{u})\vec{u}\)
Loi de Malus : en faisant passer par un analyseur après un polariseur :
\(I=I_{max}\cos^2\alpha\)
- Si \(\alpha =0 [\pi]\), intensité maximale : configuration parallèle
- Si \(\alpha = \pi/2 [\pi]\), intensité nulle : configuration croisée
\(\vec{v_e}=\vec{0}\)
❗ Le conducteur parfait développe \((\sigma=0, \vec{j_s}\neq\vec{0}\)) à sa surface afin de produire un champ emag propre qui
\(\to\) s'oppose à \((\vec{E}_i, \vec{B}_i)\) dans le conducteur
\(\to\) correspond à \((\vec{E}_r, \vec{B}_r)\) dans le vide
\(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) en quadrature de phase dans l'espace et dans le temps
\(\to\) nœuds de l'un sont ventres de l'autre
Pression de radiation est due à la moyenne des champs de part et d'autre de l'interface
\(\vec{E}=\vec{E}_i \bigoplus\vec{E}_r=2E_0\sin(kz)\sin(\omega t)\vec{e_x}\)
- C'est une oepsmpr ie de la forme \(f(x_u)g(t)\)
- Il ne respecte pas les relations de structure !!!
\(P_{rad}=\varepsilon_0 E^2\)
Cohérent avec l'aspect corpusculaire
rappel : quantité de mouvement d'un photon : \(\displaystyle\frac{h\nu}{c}\)
On peut déterminer par séparation des variables et équation de d'Alembert
En ordre de grandeur, \(\lambda_{max}=2L\)
Il faut avoir des interférences constructives : \(\delta_A=(n+1)\lambda_{0,n}=2L+2\frac{\lambda_{0,n}}{2}\)
Stationnaire suivant \(z\)
Progressive suivant \(y\)
TE et polarisée rectilignement suivant \(\vec{e_x}\)
Monochromatique et non plane
On retrouve Klein-Gordon : \(\displaystyle K_{n0}^2=\frac{\omega^2-\omega_{n0,c}^2}{c^2}\) ❗
On a la contrainte de \(\omega > \frac{n\pi c}{a}\) où \(a\) est la largeur du guide d'onde sinon onde évanescente
On rappelle formules de
vitesse de phase : \(v_{\varphi}=\frac{\omega}{k}\)
vitesse de groupe \(v_g=\frac{d\omega}{dk}\)
Ne dépend pas de \(x_u\) pour une onde se propageant selon \(\vec{x_u}\)
Relation de dispersion dans le vide : \(||\vec{k}||=\displaystyle\frac{\omega}{c}\) et \(v_{\varphi}=c\)
où \(v_{\varphi}=\frac{w}{c}\) est la vitesse de phase
Les fréquences usuelles
- Ondes radio jusqu'à \(3~ GHz\)
- Micro ondes jusqu'à \(300~ GHz\)
- Rayons X à partir de \(1,2~ keV\)
N'ont pas de sens physique car d'extension temporelle et spatiale infinies
