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Lo studio di una funzione... (Esponenziale (2° caso 0<a<1 y=1/2^x (è…
Lo studio di una funzione...
Fratta
y=x^2-4/x-5
Non ha simmetria, poiché per studiare se è pari bisogna che si verifichi f(-x)=f(x), quindi sostituiamo nella funzione le x con -x, mentre se è dispari -f(-x)=f(x), quindi aggiungiamo un meno davanti al risultato del precedente e cambiamo di segno solo al num.
Interseca gli assi nei punti A(2,0) B(-2,0) C(0,4/5), poiché bisogna sostituire prima la x con lo 0 e così ricaviamo la y, che in questo caso è 4/5, e poi sostituire la y con lo 0 e così ricaviamo la x, che in questo caso è +-2.
è positiva, poiché per studiare la positività bisogna porre sia il num. che il denom. maggiore di 0, così facendo notiamo che la funzione è definita in -2<x<2UX>5
è decrescente, perché dando due valori alla x, ad esempio xcon1=1 e xcon2= 2, notiamo che sostituendoli all'interno della funzione il risultato è nel primo 3/4 e nel secondo 0, quindi xcon1>xcon2.
Il dominio è x diverso da 5, poiché per studiare il domino di una funzione fratta bisogna porre il denominatore diverso da zero, in modo da riuscire a trovare il numero che l'annullerebbe.
La derivata è x^2-10x+4, perché la regola del rapporto di due funzioni è derivata del num. per il denom. meno il num. per la derivata del denom., tutto fratto il denom alla seconda. Ha un mas. che è 5 e due min. 1/2 e 9,5, per calcolarli bisogna porre la derivata maggiore di zero e fare il grafico dei segni e dove è - è il min. e dove è + è mas.
Esponenziale
è maggiore di zero per ogni x appartenente ad R, quindi sempre positiva
2° caso 0<a<1 y=1/2^x
è decrescente, perché dando due valori alla x, ad esempio xcon1=1 e xcon2= 2, notiamo che sostituendoli all'interno della funzione il risultato è nel primo 1/2 e nel secondo 1/4, quindi xcon1>xcon2.
La derivata è 1/2^x ln1/2, perché la formula della derivata di una funzione esponenziale è la funzione moltiplicata al ln .... n. Non ha né massimi né minimi, dato che la esponenziale è sempre positiva e il logaritmo neperiano è sempre positivo.
Il dominio è R, poiché per studiare il domino di una funzione esponenziale bisogna osservare la funzione, in questo caso è una polinomiale, quindi esiste per ogni valore reale di x.
Interseca gli assi nei punti A(0,1) B(1,1/2), poiché bisogna sostituire la x con un valore, in questo caso con 0 e 1, e ci ricaviamo la y, che in questo caso è 1 e 1/2. Inoltre notiamo che decresce sempre e che è anche limitata inferiormente.
1° caso a>1 y=2^x
Il dominio è R, poiché per studiare il domino di una funzione esponenziale bisogna osservare la funzione, in questo caso è una polinomiale, quindi esiste per ogni valore reale di x.
è crescente, perché dando due valori alla x, ad esempio xcon1=1 e xcon2= 2, notiamo che sostituendoli all'interno della funzione il risultato è nel primo 2 e nel secondo 4, quindi xcon1<xcon2.
Interseca gli assi nei punti A(0,1) B(1,2), poiché bisogna sostituire la x con un valore, in questo caso con 0 e 1, e ci ricaviamo la y, che in questo caso è 1 e 2. Inoltre notiamo che cresce sempre e che è anche limitata inferiormente.
La derivata è 2^x ln2, perché la formula della derivata di una funzione esponenziale è la funzione moltiplicata al ln ... n. Non ha né massimi né minimi, dato che la esponenziale è sempre positiva e il logaritmo neperiano è sempre positivo.
Logaritmica
y= log1/2x- 2
Il dominio è x>0, perché per studiare il dominio della funzione logaritmica si pone la funzione maggiore di 0 e no diversa da 0, in modo da riuscire a trovare il numero dal quale o fino al quale la funzione si annullerebbe.
è crescente, perché dando due valori alla x, ad esempio xcon1=2 e xcon2= 3, notiamo che sostituendoli all'interno della funzione il risultato è nel primo log e nel secondo log3/2, quindi xcon1<xcon2.
La derivata è 1/x per 1/ln1/2, perché la formula della derivata della funzione logaritmica è 1/x moltiplicato per 1/ln... n. Ha solo 0 come min., perché qui solo il deonm. del primo termine può essere posto maggiore di 0, poiché gli altri sono sempre positivi.
è definita solo per valori positivi della x, quindi è sempre positiva
Polinomiale
y=8-x^2
è pari, poiché poiché per studiare se è pari bisogna verificarsi f(-x)=f(x), quindi sostituiamo nella funzione le x con -x.
è crescente, perché per studiare la crescenza di una funzione polinomiale si danno due valori alla x, ad esempio xcon1=1 e xcon2= 2, notiamo che sostituendoli all'interno della funzione il risultato è nel primo 7 e nel secondo 4, quindi xcon1>xcon2.
è negativo, poiché per studiare la positività bisogna porre la funzione maggiore di 0, così facendo notiamo che la funzione è definita in -radicedi8<x<radicedi8
Interseca gli assi nei punti A(1,9) B(2,4), poiché bisogna sostituire la x con un valore, in questo caso con 1 e 2, e ci ricaviamo la y, che in questo caso è 9 e 4.
Il dominio è R, poiché essendo una funzione polinomiale esiste per ogni valore reale di x.
La derivata è 2x, perché la formula della derivata di una costante è 0 e qui resta solo x^2. Ha solo un min. che è 2, poiché è l'unico termine.