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RACIOCINIO LÓGICO (NÃO SÃO PROPOSIÇÕES (UMA SENTENÇA ABERTA (Quando a…
RACIOCINIO LÓGICO
NÃO SÃO PROPOSIÇÕES
QUANDO O VERBO ESTÁ NO IMPERATIVO
Ex. Escreva o que eu mando
UMA INTERROGAÇÃO
Ex. Você será um policial civil?
FRASES EXCLAMATIVAS
Ex. Que linda!
UMA SENTENÇA ABERTA (Quando a resposta depende de alguma informação.)
Ex. x + y = 10 (Para ser VERDADEIRO ou FALSO depende dos valores de X e Y)
Ex. Ele (ela,, aquele (a)) é um homem de sorte. (Quem é ele?)
PALAVRAS SEM FORMAR FRASE (FALTANDO VERBO)
Ex. Um excelente livro
OS CASOS DE CONFLITOS (PARADÓXO) (Quando uma verdade nos leva ao falso e vice versa)
Ex. "Isto que escrevo é falso"
"Eu sou mentiroso"
RESUMINDO AS NEGAÇÕES (~) QUANDO A FRASE TIVER:
Negação da negação da negação da negação
Ex. ~(~(~(~A) Ele não negou que não viu nada = ELE VIU
Número IMPAR de negações
NEGATIVO
Negação da negação da negação
Ex. ~(~(~A) Ele que
não
foi a lugar
nenhum
= NÃO FOI
Número PAR de negações
AFIRMATIVO
Negação da negação
Ex. ~(~A) Não vejo nada = VEJO
OBSERVAÇÃO:
Quando um exercício pedir para negar uma frase, devemos considerar o pedido do exercício como uma negação
Ex. (NEGAR) Danilo é feio = Danilo é bonito
CONECTIVOS LÓGICOS
Conectivo
(ou)
Símbolo
(V)
DISJUNÇÃO
Conectivo
(Ou, ou)
Símbolo
(_V traço embaixo do V)
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
Conectivo
(e)
Símbolo
(^)
CONJUNÇÃO
Conectivo
(Se, então)
Símbolo
(->)
CONDICIONAL
Conectivo
(NÃO)
Símbolo
(~)
NEGAÇÃO
PODE VIR NO ENUCIADO " NÃO É VERDADE" QUE É LOGICAMENTE EQUIVALENTE. QUANDO FOR ASSIM, FAÇA A NEGAÇÃO E NÃO A EQUIVALÊNCIA.
Conectivo
(Se somente se)
Símbolo
(<->)
BICONDICIONAL
PROPOSIÇÕES
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (ou, ou)
VERDADEIRO
As proposições devem ser OPOSTAS (V F ou F V)
Deve conter
UMA só VERDADE
.
FALSO
As DUAS devem ser VERDADEIRAS ou FALSAS (V V ou F F)
NEGAÇÃO
LEI DE DEMORGAN
MANTENHA as proposições simples
Troque a DISJUNÇÃO (_V OU OU) EXCLUSIVA por BICONDICIONAL (<-> SE, SOMENTE, SE) MANTENDO AS 2 PARTES
"OU" NEGUE A 1° "OU" E MANTENHA A OUTRA
"OU" MANTENHA A 1° "OU" NEGUE A SEGUNDA.
TROQUE A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA POR
SE, SEOMENTE SE
E NEGUE AS 2 PROPOSIÇÕES
REGRA DO MAMA "ou" NENE
(MAnter a 1° e MAnter a 2° "ou" (NEgar a 1° e Negar a 2°)
EXEMPLO:
OU FAZ FRIO OU ESTUDO
FAZ FRIO E ESTUDO OU NÃO FAZ FRIO E NÃO ESTUDO
PODE INVERTER
CONDICIONAL (Se, então)
VERDADEIRO
UMA pode ser FALSA e a outra VERDADEIRA ou FALSA e FALSA ou VERDADEIRA e VERIDADEIRA (F V , F F ou V V)
Sempre que a
primeira
parte for
FALSA
,
ou
a
segunda
for
VERDADEIRA
, a proposição será VERDADEIRA.
FALSO
A PRIMEIRA dever ser VERDADEIRA e a SEGUNDA FALSA
(VERA FISHER) (V F)
NEGAÇÃO
Copie a PRIMEIRA e NEGUE a SEGUNDA
Troque o conectivo CONDICIONAL (--> Se, então) por uma CONJUNÇÃO (^ E)
Pode ser chamado de
IMPLICAÇÃO MATERIAL
( Esse implica não pode ser uma provocação)
ESTUDAR
IMPLICA
SER APROVADO
Ele vai no lugar do ENTÃO
Se
(CONDIÇÃO SUFICIENTE)
, Então
(CONDIÇÃO NECESSÁRIA / CONSEQUÊNCIA)
SE ESTUDAR, ENTÃO SEREI APROVADO
Estudar
É CONDIÇÃO PARA
ser aporvado
Ser aprovado
É CONDIÇÃO NECESSÁRIAPARA
estudar.
Estudo
SOMENTE SE
sou aprovado
OBSERVAÇÃO
A SUBSTITUIÇÃO DO ENTÃO POR IMPLICA / SE SOMENTE SE, DEVERÁ SER COLOCADO EM CIMA DO ENTÃO E RETIRE O SE DA FRASE.
SOMENTE SE é um EQUIVALENTE DO SE, ENTÃO
SE
ANA NASCEU EM SALVADOR,
ENTÃO
ELA É BAIANA
ANA NASCEU EM SALVADOR
SOMENTE SE
ELA É BAIANA
Nessa frase apenas foi retirado o
ENTÃO
e colocado o
SOMENTE SE
EQUIVALÊNCIAS DO SE, ENTÃO
IMPLICA
SOMENTE SE
DESDE QUE
= SE
LOGO
JÁ QUE
= SE
CASO
= SE
QUANDO
COMO
SEMPRE QUE
No meio da frase será equivalente ao
SE
Vou à pra sempre que faz calor
Se faz calor, então vou à praia
POIS e PORQUE
Deve ser analisado as frases antee e depois
NÃO POSSO IR AO ANIVERSÁRIO,
PORQUE
ESTOU VIAJANDO.
SE
ESTOU VIAJANDO,
ENTÃO
NÃO POSSO IR AO ANIVERSÁRIO
O ALMOÇO ESTÁ PRONTO, PODEMOS,
POIS
, COMEÇAR A COMER
SE
O ALMOÇO ESTÁ PRONTO,
ENTÃO
PODEMOS COMEÇAR A COMER
ORDEM
ANTECEDENTE (SE) E CONSEQUENTE (ENTÃO)
DISJUNÇÃO (OU)
LEI DE DEMORGAN
VERDADEIRO
Basta UMA VERDADEIRA
FALSO
As DUAS deverão ser FALSAS
NEGAÇÃO
LEI DE DEMORGAN
NEGUE AS DUAS
Troque a DISJUNÇÃO (OU) por CONJUNÇÃO (E)
OBSERVAÇÃO:
OBSERVAÇÃO (COMUTATIVA)
Na negação PODE :
INVERTER A ORDEM
BICONDICIONAL (se, somente, se)
VERDADEIRO
A DUAS
devem ser
VERDADEIRA
e
VERDADEIRA
ou
FALSA
e
FALSA
( V V ou F F) (bi "gay")
Os 2 valores devem ser iguais para que a proposição seja verdadeira
DOIS VALORES IGUAIS
FALSO
As duas everá ser
OPOSTAS
:
VERDADEIRA e FALSA
ou
FALSA e VERDADEIRA
(V F e F V)
NEGAÇÃO
Há DUAS opções (A v (OU) B. ou A v ~B ou (B v ~A)
1° Você MANTÉM as proposições e troca o conectivo por
("OU OU")
OU NEGUE AS 2 PROPOSIÇÕES
EXEMPLOS:
ANDO SE CORRO SOMENTE SE CORRO
OU ANDO OU CORRO
OU NÃO ANDO OU NÃO CORRO
PODE INVERTER AS PROPOSIÇÕES
2° Faça DUAS NEGAÇÕES da CONDICIONAL
(MANTER A 1° "E" NEGUE A 2° "OU" MANTER A 1° "E" MANTÉM A 2°)
invertendo as proposições e ligue-as pelo (OU V)
(A e ~B ou B e ~A)
EXEMPLOS
ANDO SE SOMENTE SE CORRO
ANDO E NÃO CORRO OU CORRO E NÃO ANDO
Pode negar com o SE SOMENTE SE:
MANTÉM A 1° E SEGUE A 2°
NEGUE A 1° E MANTÉM A 2°
EXEMPLOS:
NÃO ANDO SE SOMENTE SE CORRO
ANDO SE SOMENTE SE NÃO CORRO
ANDO SE SOMENTE SE CORRO
OBSERVAÇÕES
EQUIVALÊNCIA
NADO SE E SOMENTE SE CORRO
SE
NADO
ENTÃO
CORRO E
SE
CORRO,
ENTÃO
NADO
(DUAS CONDICIONAIS → ← UMA VAI E OUTRA VOLTA E TEM O CONECTIVO "e" NO MEIO
Nada é condição suficiente e necessária para para correr / Nadar é condição necessária e suficiente para correr
Correr é condição suficiente e necessária para para nadar / Correr é condição necessária e suficiente para nadar
CONJUNÇÃO (e)
VERDADEIRO
As DUAS proposições deverá ser VERDADEIRAS
FALSO
Basta apenas UMA FALSA
NEGAÇÃO
Troque CONJUNÇÃO (E) por DISJUNÇÃO (OU)
NEGUE (~) AS DUAS proposições
OBSERVAÇÃO (COMUTATIVA)
Na negação
PODE INVERTER A ORDEM
OU USAR A REGRA DO
MA NÉ
EXEMPLO:
ONTEM JORGE FOI AO CINEMA E VOLTOU DESAPONTADO
SE ONTEM JORGE FOI AO CINEMA, ENTÃO NÃO VOLTOU DESAPONTADO.
MANTÉM A 1° E NEGUE A 2°
OBSERVAÇÕES:
NEM =
E NÃO
Ex. Estudo
NEM
trabalho
MAS =
E
Ex. Não estudo e
NÃO
trabalho
ELE É EXIGENTE
È todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem uma ideia de sentido completo e que, além disso, pode ser julgado como verdadeiro (V) Falso (F) Toda proposição apresenta VERBO.
CONTRADIÇÃO
Uma proposição é uma CONTRADIÇÃO quando
o seu valor lógico é SEMPRE FALSO (F)
, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componetes.
CASOS PARTICULARES
P ↔ (~P)
P ou ou P
P ^ (~P)
EXEMPLO
(A ^ B ^C ^ D ^ E) ^ ~(A ^ B ^C ^ D ^ E)
é a mesma coisa que:
P ^ (~P)
FORMA DE DESCOBRIR SE É UMA TAUTOLOGIA SEM FAZER TABELA VERDADE
Forçe o resultado final dar VERDADEIRO
, caso não consiga, será UMA CONTRADIÇÃO
(~P ^ ~Q) ^ (P ^ Q)
Não conseguimos forçar dar como resultado verdadeiro, pois não podemos, neste caso, falar que P é VERDADEIRO e FALSO
Seu valor lógico é sempre falso, não importando o valor de suas proposições constituintes.
Não existem contradições sem que ocorra o conectivo de negação.
COMUTATIVIDADE DOS CONECTIVOS
P ^ Q é igual a Q ^ P
P v Q é igual Q v P
P ou Q é igual a Q ou P
P ↔ Q é igual a Q ↔ P
No → (Se, Então) não funciona a comutatividade, ao alterar o P e o Q o resultado mudará.
CONSTRUÇÃO DE TABELAS VERDADE
1° - DETERMINE O NÚMERO DE LINHAS ("n)
EXEMPLO
P → (~P → Q)
2 elevado a 2 =
4 LINHAS
COMBINAÇÕES
(NÃO IMPORTA A ORDEM DESDE QUE SEJAM 4 COMBINAÇÕES).
P
V
Q
F
P
F
Q
V
P
V
Q
V
P
F
Q
F
2° - CONSTRUA AS COLUNAS APRESENTANDO AS COMBINAÇÕES DISTINTAS.
P
V
Q
V
P
V
Q
F
P
F
Q
V
P
F
Q
F
3° CONSTRUA UMA COLUNA PARA CADA NEGAÇÃO LÓGICA SEGUINDO A SUA DEVIDA ORDEM DE RESOLUÇÃO
2° (v) OU ou (^) E (resolva quem aparecer primeiro)
3° SE, ENTÃO (→)
1° RESOLVA A NEGAÇÃO
4° SE, SOMENTE SE (↔)
TODAS
VERDADEIRAS
TAUTOLOGIA
FALSAS
CONTRADIÇÃO
VERDADEIRO E FALSO
CONTINGÊNCIA ou INDETERMINADA
NÚMEROS DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
TEM QUE TESTAR TODAS AS POSSIBILIDADES
EXEMPLO
FÓRMULA ((P → Q) ^ ~R) v (~S → T)
É COMPOSTA POR 5 PROPOSIÇÕES DISTINTAS (P, Q, R, S e T)
DIZEMOS QUE ELA ADMITE 32 VALORAÇÕES
"V" ou "F",
POIS É 2 ELEVADO A 5 = 32
P = 2P X Q = 2Q X R = 2P X S = 2P X T = 2POSSIBILIDADES) 2 ELEVADO A 5
((PvQ) v R) → (~Q v S)
ESSA SERÁ 2 elevado a 4, portanto 16 LINHAS
A TABELA VERDADE SERÁ COMPOSTA
1° 8 V e 8 F
2° 4 V e 4 F
3° 2 V e 2 F
OBSERVAÇÃO: SERÁ SEMPRE A METADES DE "V" E "F" POR COLLUNA
NESTE EXEMPLO DEVERÁ SER FEITO 32 POSSIBILIDADES PARA DESCOBRIR O RESULTADO.
É DADO POR 2 ELEVADO À "n" ("n" é número de proposições simples)
TAUTOLOGIA
CASOS PARTICULARES
P → P
P ↔ P
P v (~P)
P ou, ou (~P)
PRINCÍPIO DA SUBSTITUIÇÃO
EXEMPLO:
(A ^ B ^ C) ↔ (D v ~E)) v ~((~ E v D) ↔ (A^B ^ C))
è igual a P v ~ P
Ele apenas inverteu alguns itens de ordem que nessas proposições não faem a diferença da ordem
FORMA DE DESCOBRIR SE É UMA TAUTOLOGIA SEM FAZER TABELA VERDADE
(A ^ (A → B)) → B
Forçe o resultado final dar FALSO
, caso não consiga, será UMA TAUTOLOGIA
Neste exemplo não conseguimos atribuir DOIS VALORES PARA O "A"
Uma proposição é uma tautologia quando
o seu valor lógico é SEMPRE VERDADE (V)
, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componetes.
CONTINGÊNCIA OU INDETERMINAÇÃO
É uma quando não é uma tautologia ou uma contradição.
Quando o seu valor lógico se alternar de acordo com os valores das porposições.
Forçe o resultado final dar FALSO
, caso não consiga, será UMA TAUTOLOGIA
CASOS PARTICULARES
P v P
P → ~P
P ^ P
PRINCÍPIO DA SUBSTITUIÇÃO
(p ^ q → r v s) ^ (p ^ q → r v s)
É a mesma coisa que P ^ P. Ao atribuirmos o P representando um conjunto.
EXEMPLO
(P → (Q v R)) → ~ (P → (R v Q))
É a mesma coisa que P → ~P
P → ~P
V → F = F
F → V= V
PROPOSIÇÃO
É um conjunto de palavras ou símbolos que exprimam
um SENTIDO COPLETO
ao qual se
atribui 2 valores lógico possíveis:
VERDADEIRO ou
FALSO
Deve seguir 3 regras fundamentais
PRÍCIPIO DE NÃO CONTRADIÇÃO
É impossível ser A e não ~A ao mesmo tempo (V e F ao mesmo tempo
Uma proposição NUNCA será VERDADEIRA ou FALSA ao mesmo tempo. É um e apenas um.
PRÍCIPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
A é x ou não ~x, não há terceira possibilidade
Toda proposição é V ou F, excluindo um terceiro resultado.
PRINCÍPIO DA IDENTIDADE
A é A
Uma proposição verdadeira será
sempre
VERDADEIRA OU
uma proposição
FALSA** será sempre FALSA
Toda proposição ELA É uma proposição
AFIRMATIVA
Ex. Trabalharei amanhã (não se confunda com o valor)
NEGATIVA
E. Não trabalharei amanhã (não se confunda com o valor)
ORDEM DE PRECEDÊNCIAS DOS CONECTIVOS NAS OPERAÇÕES LÓGICAS
ORDEM:
2° (v) OU ou (^) E (resolva quem aparecer primeiro)
3° SE, ENTÃO (→)
1° RESOLVA A NEGAÇÃO
4° SE, SOMENTE SE (↔)
Caso apareça, resolva primeiro a fórmula de dentro dos parêntese, em seguida a dos colchetes e assim por diante.
EXEMPLOS:
(P é F / Q é V / R é F)
~P → Q ^ R =
~F → V ^F =
V → F =
F
~((P → Q) ^ R) =
~((F → V) ^ F) =
~(V ^ F) =
~F
V
PROPOSIÇÕES
SIMPLES
Você não consegue quebrar a frase em mais de uma com sentido completo.
Ex. Roma é a capital da Itália
COMPOSTA
Você consegue quebrar a frase em 2 que tenha o sentido completo e terá um conectivo.
Se triângulo possui 4 ângulos, então Brasília é a capital da Argentina.
TOME CUIDADO COM A COMUTATIVIDA NA HORA DE NEGAR OU AVALIAR A EQUIVALÊNCIA DOS CONECTIVOS "e" E O "ou"
NEGAÇÃO
DO CONECTIVO "
e
"
“Todo flunct é flinct e nenhum flanct é
flenct”
COMUTATIVIDADE:
Nehuma flanct é flenct e todo flunct é flinct
(NEGAÇÃO)
(MANÉ P→ ~Q)
Se algum flanct é flenct, estão exite flunct que é flinct
(NEGAÇÃO)
(~P ou ~Q) Algun flunct não é flinct ou algum flanct é flinct.
EQUIVALÊNCIA
DO CONECTIVO "
ou"
“Não
assisto o Estratégia News ou estou sempre informado"
COMUTATIVIDADE:
Estou sempre informado ou não assisto o Estratégia News.
EQUIVALÊNCIA:
(~P→Q)
Se não estou sempre informado, então assisto o Estratégia News
LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO
O objeto da lógica é o silogismo
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA
PROPOSIÇÕES
NENHUM
A é B
Ex. Nnhum Homem é sábio
NEGAÇÃO (PEA)
ALGUM
A é B
ALGUM homem é sábio
PELO MENO UM
A é B
PELO MENOS UM homém é sábio
EXISTE QUE
EXISTE homem QUE é sábio
EQUIVALÊNCIA
1° UTILIZE O SE, ENTÃO E 2° NEGUE COM A REGRA DO MANÉ
EXEMPLO:
NENHUM ALUNO É GRADUADO
1° SE X É ALUNO, ENTÃO X NÃO É GRADUADO EM PSICOLOGIA
2° X É UM ALUNO E X É GRADUADO EM PSIICOLOGIA
ALGUM
A é B
Ex. Algum homem é sábio
NEGAÇÃO
NEHUM
A é B
NENHUM homem é sábio
NÃO EXISTE
NÃO EXISTEM homens sábios
TODO
A é B
Ex. Tdo homem é sábio
NEGAÇÃO (PEA NÃO)
ALGUM
A
NÃO
é B
Ex. ALGUM homem NÃO é sábio
PELO MENOS UM NÃO
A é B
PELO MENOS UM homem NÃO é sábio
EXISTE... QUE NÃO
EXITE UM homem QUE NÃO é sábio
NEM
TODO
A É B
TODO EQUIVALE AO SE, ENTÃO
EXEMPLO
EXERCÍCIO:
TODOS PRIMOS DE MIRIAN SÃO ESCREVENTES
SE É PRIMO DE MIRIAN, ENTÃO É ESCREVENTE
SE NÃO É ESCREVETE, ENTÃO NÃO É PRIMO DE MÍRIAN
ALGUM
"A"
NÃO
é "B"
Ex. Algum homem é sábio
NEGAÇÃO
TODO
A é B
TODO homem é sábio
EQUIVALÊNCIAS
SE, ENTÃO
NEY MAR (OU)
NEGA a 1° e MANTÉM A 2°
EXEMPLO:
SE PLANTO NO TEMPO CERTO, ENTÃO A COLHEITA É MELHOR
A COLHEITA É MELHOR OU NÃ PLANTO NO TEMPO CERTO
NÃO PLANTO NO TEMPO CERTO OU A COLHEITA É MELHOR
Contrapositiva (Se, Então)
Mantém o Se, Então, inverta e negue as 2 proposições.
EXEMPLO
SE DOIS NÚMEROS INTEIROS SÃO PARES, ENTÃO A SOMA DESSES NÚMEROS É UM INTEIRO PAR
SE A SOMA DE DOIS NÚMEROS INTERIOS
NÃO É UM INTEIRO PAR
, ENTÃO PELO MENOS UM DO DOIS INTEIROS
NÃO É PAR
TABELAS VERDADE
NEGAÇÃO
P: Belo Horizonte é a Capital do Brasil (F)
~P: Belo Horizonte não é a capital do Brasil (V)
NEGAÇÃO DE SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
MAIOR
MENOR OU IGUAL
MENOR
MAIOR OU IGUAL
MENOR OU IGUAL
MAIOR
DIFERENTE
IGUAL
MAIOR OU IGUAL
MENOR
DICA
INVERTA O SÍMBOLO E O QUE TIVER O TRAÇO RETIRE E O QUE NÃO TIVER COLOQUE
IGUAL
DIFERENTE
QUESTÕES DE CICLOS
SE O RESTO FOR 0 ELE EQUIVALERÁ A ÚLTIMA FIGURA DO CICLO.
SE O CICLO TIVER 9 ELEMENTOS, VOCÊ CONTARÁ: 1, 2, 3, 4 ,5 ,6 ,7 ,8 0
