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\(F4. \) Théorie générale de l'électromagnétisme classique (Équations…
\(F4. \) Théorie générale de l'électromagnétisme classique
Équations de Maxwell
:!:
Maxwell-Gauss : \(div~ \vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\varepsilon_0}\)
\(\leftrightarrow\)
Si on \(\iiint_{(\mathcal{V})}\) + théorème de Green-Ostrograski donne théorème de Gauss
:warning: Analyse de sources : prendre en compte le champ magnétique aussi (voir M-F)
:!:
Maxwell-Faraday
: \(\vec{rot}~\vec{E}=-\displaystyle\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\)
\(\leftrightarrow\)
Si on \(\iint_{(\mathcal{S})}\) + théorème de Green-Stokes donne la
Loi de Faraday
: \(\displaystyle\oint_{(\mathcal{C})} \vec{E}.\vec{dl}=-\frac{d}{dt}\iint_{(\mathcal{S})} \vec{B}.\vec{dS}\) ou encore \(e=-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}\)
:!:
Maxwell-Flux
(Thomson) : \(div ~\vec{B} = 0\)
\(\leftrightarrow\)
\(\vec{B}\) est à flux conservatif
:!:
Maxwell-Ampère
: \(\vec{rot}~\vec{B}=\mu_0\Big(\vec{j}+\varepsilon_0\displaystyle\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\Big)\)
\(\leftrightarrow\)
Si on \(\iint_{(\mathcal{S})}\) + théorème de Green-Stokes donne le
Théorème d'Ampère généralisé
:!: : \(\displaystyle\oint_{(\mathcal{C})}\vec{B}.\vec{dl}=\mu_0I_{(\mathcal{S})}+\mu_0I_{D,(\mathcal{S})}\)
où \(I_{D,(\mathcal{S})}\) est le
courant de déplacement
: \(\displaystyle I_{D,(\mathcal{S})}=\iint_{(\mathcal{S})}\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.\vec{dS}\)
Relations de passage
: :!:
Les équations en \(div\) donnent des relations normales
\(M\phi\) : \(\vec{B}_{2N}=\vec{B}_{1N}\)
\(MG\) : \(\vec{E}_{2N}-\vec{E}_{1N}=\displaystyle\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{n_{12}}\)
Les équations en \(\vec{rot}\) donnent des relations tangentielles
\(MF\) : \(\vec{E}_{2T} = \vec{E}_{1T}\)
\(MA\) : \(\vec{B}_{2T}-\vec{B}_{1T} = \mu_0 \vec{j_s}\wedge\vec{n_{12}}\)
Compléments
:!:
Conservation de la charge
: \(\displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t}+div~\vec{j}=0\)
\(\to\) en régime permanent, on trouve que le \(\vec{j}\) est à flux conservatif
Équations de propagation
dans le vide :
\(\Delta\vec{E}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}\)
et
\(\Delta\vec{B}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}=\vec{0}\)
\(\to\) naissance de la lumière
Transformation de Galilée
: entre deux référentiels galiléens avec \(\vec{v_e}=\vec{v}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}}\) :
\(\vec{B'}=\vec{B}\) et \(\vec{E'}=\vec{E}+\vec{v_e}\wedge\vec{B}\)
Les équations de Maxwell sont incohérentes avec cette transformation \(\to\) relativité restreinte
Études locales
Équations de Laplace et Poisson
pour un domaine statique, alors le potentiel électro
statique
vérfie \(\Delta V = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)
On peut résoudre numériquement ces équations grâce à la méthode
de relaxation
(initialisation, itération, test) en faisant la moyenne des potentiels lorsque les conditions aux limites sont connues
Energie électromagnétique et vecteur de Poynting
Puissance volumique transmise
du champ aux charges
: \(\mathcal{P}_{vol}=\vec{j}.\vec{E}\)
:!:
Équation locale de Poynting
: \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\Big)+div\Big(\frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\Big)=-\vec{j}.\vec{E}\)
ou encore
\(\displaystyle\frac{\partial u_{em}}{\partial t}+div~\vec{\Pi}=-\vec{j}.\vec{E}\)
\(\to\) où \(u_{em}=u_e+u_m\) est la
densité volumique d'énergie électromagnétique
et \(\displaystyle\frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\) est le
vecteur de Poynting
(qui est un vrai vecteur)
:!:
Bilan intégral de Poynting
sur un volume \((\mathcal{V})\)
fixe
délimité par \((\mathcal{S})\) est :
\(\displaystyle\frac{d}{dt}\Big[\iiint_{(\mathcal{V})}u_{em}d\tau\Big]=\iint_{(\mathcal{S})}\vec{\Pi}.\vec{dS}-\iiint_{(\mathcal{V})}\vec{j}.\vec{E}d\tau\)
\(\to\) où le premier membre est l'énergie totale du champ \((\vec{E},\vec{B})\) dans \((\mathcal{V})\) qui évolue en fonction de la puissance reçue par le champ de l'extérieur à travers \((\mathcal{S})\) et la puissance reçue par le champ de la part des sources
Analogie gravitationnelle
: densité volumique d'énergie gravitationnelle \(u_g(M)=-\displaystyle\frac{\mathcal{G}^2(M)}{8\pi G}\)
\(\to\) intégré sur l'espace, c'est l'énergie de constitution du système à partir de ses éléments à l'infini
\(\to\) le signe \(-\) signifie que l'état est plus stable qu'avec les éléments à l'infini
Puissance rayonnée
: \(\mathcal{P}_{(\mathcal{S})}=\iint_{(\mathcal{S})}\vec{\Pi}.\vec{dS}\)
\(\to\) le vecteur de Poynting permet de décrire localement les transferts d'énergie émag
\(\to\) pour un laser usuel \(1mW\) et \(1kW.m^{-2}\) si concentré sur \(1mm^2\) et pour le Soleil \(10^{26} W\)
Conduction dans les milieux ohmiques
Dans un référentiel galiléen, en supposant les ions fixes, en négligeant la force magnétique et le poids, le
modèle de Drüde
: \(m\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=q\vec{E}-\frac{m}{\tau}\vec{v}\)
\(\to\) \(\tau\) est un temps caractéristique collisionnel \(\tau\approx 10^{-14}s\)
\(\to\) explique mouvement des charges
Loi locale d'Ohm
si \(\vec{B}\) est négligé, \(\mathcal{R}\) est galiléen et en basses fréquence : \(\vec{j}=\gamma\vec{E}\)
\(\to\) où \(\gamma\) est la conductivité (en \(S.m^{-1}\). Par exemple, \(\gamma_{Cu}=5,8.10^7 S.m^{-1}\)
\(\to\) la résistivité \(\rho_r=1/\gamma\) en \(\Omega.m\)
Puissance volumique dissipée par
effet Joule
: \(\displaystyle\mathcal{P}_{vol,J}=\gamma E^2=\frac{1}{\gamma}j^2>0\)
Résistance élémentaire
en régime permanent : \(R=\displaystyle\frac{1}{\gamma}\frac{l}{S}\) telle que \(U=RI\)