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\(F3. \) Champ magnétique et actions magnétiques (Dipôle magnétostatique (…
\(F3. \) Champ magnétique et actions magnétiques
Dipôle magnétostatique
:!:
Moment dipolaire
\(\vec{\mathcal{M}}=I\vec{S}\) où \(\vec{S}=\iint_{(\mathcal{S})} \vec{dS}\)
Le moment dipolaire d'une spire de rayon \(R\) est \(\vec{\mathcal{M}}=\pi R^2I\vec{e}_z\)
Le moment dipolaire
orbital
d'un électron vaut \(\vec{\mathcal{M}}_{orb}=\gamma\vec{L_0}\) où \(\gamma=-\frac{e}{2m_e}\)
Au niveau subatomique, \(\tilde{\mathcal{M}}\sim 10^{-25} A.m^{-2}\)
Echelle humaine, \(\tilde{\mathcal{M}}\sim 10 A.m^{-2}\)
La Terre, \(\tilde{\mathcal{M}}\sim 10^{22} A.m^{-2}\)
Potentiel dipolaire
, le potentiel s'explicite dans les
coordonnées sphériques
: \(V^*=\displaystyle\frac{\mu_0\mathcal{M}\cos\theta}{4\pi r^2}\)
Champ dipolaire
vérifie :
\(\vec{B}(M)=\displaystyle\frac{\mu_0\mathcal{M}}{4\pi r^3}\Big[2\cos\theta\vec{e_r}+\sin\theta\vec{e_{\theta}}\Big]\)
\(\mapsto\) les lignes de champ \(r=r_0\sin^2\theta\)
\(\mu_0\approx4\pi 10^{-7} H.m^{-1}\) perméabilité magnétique du vide
\(\vec{B}\) est un pseudo-vecteur : \(\vec{B}(M\in\Pi^-)\in\Pi^-\) et \(\vec{B}(M\in\Pi^+)\perp\Pi^+\)
:!: Dans un champ \(\vec{B}_{ext}\) uniforme, \(\vec{\mathcal{M}}\) subit :
la force de
Lorentz
\(\frac{d \vec{F_{Lo}}}{d \tau}=\rho\vec{E}+\vec{j}\wedge\vec{B}\) ou \(\vec{F}_{Lo}=q\vec{E}+q\vec{v}\wedge\vec{B}\)
la force de
Laplace
\(\frac{d\vec{F_L}}{d\tau}=\vec{j}\wedge\vec{B}\) ou \(d\vec{F_L}=\vec{j}\wedge\vec{B}d\tau\) en volumique et \(d\vec{F_L}=I\vec{dl}\wedge\vec{B}\) en linéique
un
couple
\(\vec{\Gamma_L}=\vec{\mathcal{M}}\wedge\vec{B}_{ext}\)
une
force
\(\vec{F}=(\vec{\mathcal{M}}\cdot\vec{grad})\vec{B}_{ext}\)
une
*énergie potentielle
\(\mathcal{E}_p=-\vec{\mathcal{M}}\cdot\vec{B}_{ext}\)
Compléments
Loi de
Biot et Savart
, pour un circuit filiforme \(d\vec{B}(M)=\displaystyle\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl_P}\wedge\vec{PM}}{PM^3}\)
Pour une spire circulaire de rayon \(R\) : \(\vec{B}_{axe}(z)=\displaystyle\frac{\mu_0IR^2}{2}\times\frac{1}{(z^2+R^2)^{3/2}}\vec{e}_z\)
Pour générer un champ uniforme, on peut utiliser des bobines de Helmoltz, deux bobines espacées de leur rayon
Relations de passage
: \(\vec{B}_{2N}=\vec{B}_{1N}\) et \(\vec{B}_{2T}-\vec{B}_{1T}=\mu_0\vec{j}_s\wedge\vec{n_{12}}\) où \(\vec{n_{12}}\) orienté de 1 à 2
Distribution de courant
Courant volumique \(\vec{j}\)
tq \(I=\iint_{(\mathcal{S})}\vec{j}\cdot\vec{dS}\) où \(j\) est en \(A.m^{-2}\)
Porteurs de charges \(\mapsto\) \(\vec{j}=nq\vec{v}=\rho_q\vec{v}\) où \(n\) densité numérique
En régime permanent, \(\vec{j}\) est à flux conservatif (il se conserve)
Courant surfacique
tq \(I=\int_{\mathcal{C}}\vec{j_s}\cdot\vec{u}dl\) où \(\vec{u}\) est tangent à \((\mathcal{S})\) et perpendiculaire à \((\mathcal{C})\)
Propriétés du
champ magnétique
Le champ magnétique est à flux conservatif :!: : le champ se conserve à travers un tube de champ
Le flux magnétique est en
weber (Wb)
Pour calculer le flux créé par un moment dipolaire dans une spire circulaire d'axe l'axe du dipôle, on utilise une calotte sphérique de rayon constant, on trouve \(\Phi=\displaystyle\frac{\mu_0\mathcal{M}R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\)
:!: En statique, le champ magnétique vérifie le
théorème d'Ampère
: \(\oint_{(\mathcal{C})}\vec{B}\cdot\vec{dl}=\mu_0I_e\)
Ordre de grandeur : \(10^{-5} T\) pour la Terre, pour des aimants \(10^{-2}T\), fort à partir de \(5T\) et détectable à partir de \(10^{-10}T\)
Calculs magnétostatiques
Pour calculer un champ magnétique :
Etude des
symétries/invariances
Choix du
contour
d'Ampère
Traduction
analytique
du théorème d'Ampère
Nécessite assez de symétries
:!: Pour un
fil infini
, \(\vec{B}_{ext} (M)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\vec{e}_{\theta}\) et \(\vec{B}_{int}(M)=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2}\vec{e}_{\theta}\)
:!: Pour un
solénoïde idéal infini
, \(\vec{B}_{ext}=\vec{0}\) et \(\vec{B}_{int}=\mu_0nI\vec{e}_z\)
Pour un
tore de section quelconque
, \(\vec{B}_{ext}=\vec{0}\) et \(\vec{B}_{int}=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}\vec{e}_{\theta}\)
Pour une
géométrie planaire
, \(\vec{B}_{ext}=\frac{-\mu_0}{2je}\vec{e}_y\) et \(\vec{B}_{int}=\frac{-\mu_0}{jz}\vec{e}_y\)
