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\(E2. \) Mécanique en référentiel non galiléen (Lois de la dynamique en…
\(E2. \) Mécanique en référentiel non galiléen
Référentiels
Si \(O\) est fixe dans \(R\), la
vitesse
et l'
accélération
d'un point \(M\) sont :
\(\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{OM}}{dt}\Big|_{\mathcal{R}}\) et \(\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}(M/\mathcal{R})}{dt}\Big|_{\mathcal{R}}\)
Référentiels en
translation
si et seulement si tout vecteur lié à l'un est
constant
dans l'autre (ils ne tournent jamais l'un par rapport à l'autre)
Référentiels
Classiques
Référentiel
géocentrique
: centre masse de la Terre et axes sont ceux du référentiel de Copernice
Référentiel
terrestre
: surface locale de la Terre est fixe
Référentiel de
Copernic
: centre masse du système solaire et axes sont étoiles éloignées
Référentiel en
rotation
relativement à un
axe
\(\Delta\) lorsque tout point lié à un référentiel décrit un cercle d'axe \(\Delta\) dans l'autre référentiel
Le
vecteur rotation
\(\vec{\Omega}\) est tel que :
\(||\vec{\Omega}||\) est la vitesse angulaire en \(rad.s^{-1}\)
Sa direction est celle de \(\Delta\)
Le sens est par la règle de la main droite
Si \(\mathcal{R}'\) rotation \(\Delta\) par rapport à \(\mathcal{R}\) alors les vecteurs \(\vec{e_i}'\) vérifient l'
équation de précession
: \(\displaystyle\frac{d\vec{e_i}'}{dt}\Big|_{\mathcal{R}}=\vec{\Omega}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}\wedge\vec{e_i}'\)
Lois de composition
Formule de Varignon
: \(\vec{v}(B\in\mathcal{S}/\mathcal{R})=\vec{v}(A\in\mathcal{S}/\mathcal{R})+\vec{BA}\wedge\vec{\Omega}_{\mathcal{S}/\mathcal{R}}\)
La
loi de composition des \(\vec{\Omega}\)
est la relation de Chasles : \(\vec{\Omega}(2/0)=\vec{\Omega}(2/1)+\vec{\Omega}(1/0)\)
\(\vec{\Omega}_{Translat}=0\)
Si \(O'\) est fixe dans \(\mathcal{R}'\), la
loi de composition des \(\vec{v}\)
s'écrit : \(\vec{v}=\vec{v}'+\vec{v}(O')+\vec{\Omega}\wedge\vec{O'A}\)
où \(\vec{v}(O')+\vec{\Omega}\wedge\vec{O'A}=\vec{v}_e\) est la
vitesse d'entrainement
qui s'explicite :
\(\vec{v}_e=\vec{v}(O')\) en cas de translation
\(\vec{v}_e=\vec{\Omega}\wedge\vec{O'A}\) en cas de rotation uniforme
Formule de dérivation composée
: \(\displaystyle\frac{d\vec{U}}{dt}\Big|_{\mathcal{R}'}=\frac{d\vec{U}}{dt}\Big|_{\mathcal{R}}+\vec{\Omega}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}\wedge\vec{U}\)
:!: La
loi de composition des \(\vec{a}\)
est s'écrit :
en
translation
: \(\vec{a}=\vec{a}'+\vec{a}(O')\)
en
rotation uniforme
: \(\vec{a}=\vec{a}~~’-\Omega^2\vec{HA}+2\vec{\Omega}\wedge\vec{v}'\)
Lois de la dynamique
en référentiel non galiléen
Les
TEC
et
TPC
d'un système
fermé non relativiste
sont encore vérifiées, en rajoutant les puissances des actions d'inertie
d'entrainement
: \(P_{ie}=\vec{F}_{ie}\cdot\vec{a}'\)
Pour un système
fermé non relativiste
, on peut appliquer le
TMC
pour des actions en \(C\) fixe dans \(\mathcal{R}'\), il suffit de rajouter les moments des actions d'inertie : \(\vec{\mathcal{M}}_{i,C}=-m\vec{CA}\wedge\vec{a}_i\)
Les
TPM
et
TEM
pour un système fermé relativiste restent correctes, en pensant à rajouter les puissances des forces d'inertie
:!: Pour un système
fermé non relativiste
, le
TCI
s'écrit : \(m\vec{a}'=\vec{F}-m\vec{a}_e-m\vec{a}_c\), i.e :
en
translation
: \(m\vec{a}'=\vec{F}-m\vec{a}(O')\)
en
rotation uniforme
: \(m\vec{a}'=\vec{F}+m\Omega^2\vec{HA}-2m\vec{\Omega}\wedge\vec{v}'\)
Déterminer si un référentiel est galiléen :
on choisit un référentiel \(\mathcal{R}\) "plus" galiléen que \(\mathcal{R}'\)
on écrit la loi de la dynamique utile
on évalue l'ordre de grandeur des termes d'inertie et les compare à ceux des autres actions (dans la même direction)
si les termes inertiels sont négligeables devant la
durée
de 'expérience ou les échelles
spatiales
, on peut le supposer galiléen
Référentiel galiléen
: tout objet soumis à une résultante d'actions extérieures nulle voit son centre d'inertie en mouvement rectiligne uniforme
Deux référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme
Cas où \(\vec{F_{ie}}\) est conservative :
accélération constante
\(\vec{a}_0\) : \(\mathcal{E}_{ie}=m\vec{a}_0\cdot\vec{O'G}+C^{te}\)
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\approx mgz\)
rotation uniforme
\(\vec{\Omega}\) : \(\mathcal{E}_{ie}=-\frac{1}{2}I_{\Delta}\Omega^2+C^{te}\)
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\approx \frac{1}{2}I_{\Delta}\omega^2\approx\frac{1}{2}md_{\Delta}^2\omega^2\)
Problèmes classiques
Expérience de
Flammarion
:
méthode perturbative
On applique le TCI pour obtenir une relation entre \(\vec{a}\) et \(\vec{v}\) (plus d'autres forces)
On résout en ignorant les forces négligeables
On réinjecte \(\vec{v}\) dans l'équation non négligée, puis on itère
On trouve \(\Delta x^{(1)}=\frac{g}{3}\Big(\frac{2h}{g}\Big)^{3/2}\Omega_T\cos\lambda\)
Pendule de
Foucault
:pour découpler des équations dépendant de \(x\) et \(y\), par exemple, on résout les équations avec \(\underline{Z}=x+iy\)
On trouve \(\underline{Z}(t)=e^{-i\omega t}\big[\underline{A}e^{i\omega_0t}+\underline{B}e^{-i\omega_0t}\big]\) où le terme de droite est l'ellipse si \(\mathcal{R}_T\) était galiléen, et celui de gauche est dû au caractère non galiléen
Accélération de la pesanteur
: \(\vec{g}=\vec{\mathcal{G}_T}-\vec{a}_e(M,\mathcal{R}_T/\mathcal{R}_G)\)
Poids
: \(\vec{P}=m\vec{g}\)
et verticale apparente
Marées (blabla)