Geometría en el espacio
Vectores
-Coordenadas de un vector: AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3)
-Módulo de un vector: |u|=(x,y,z)=√x^2+y^2+z^2
-Suma de vectores: u+v=(u1+v1, u2+v2, u3+v3)
-Producto escalar de vectores: u·v=|u|·|u|·cosα
-Ángulo entre dos vectores: α=arccos[u·v / |u|·|v|]
-Producto vectorial
-Área del triángulo=|u·v| / 2
Rectas en el espacio
-Ecuación vectorial: (x,y,z)=(a1,a2,a3)+t(v1,v2,v3)
-Ecuación paramétrica: {x=a1+tv1; y=a2+tv2; z=a3+t3
-Ecuación continua: x-a1/v1 = y-a2/v2 = z-a3/v3
-Ecuación implícita: r:{π:Ax+By+Cz=D; π': A'x+B'y+C'z=D'
Ecuaciones del plano
-Ecuación vectorial: (x,y,z)=(a1,a2,a3)+t(v1,v2,v3)+s(u1,u2,u3)
-Ecuación paramétrica: {x=a1+tv1+su1; y=a2+tv2+su2; z=a3+tv3+su3
-Ecuación implícita: π:Ax+By+Cz+D=0
Vector normal al plano a partir de la ecuación implícita:
n=(A,B,C)=(x,y,z)
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio a partir de ecuaciones continuas o paramétricas:
-Si rng(M)=rng(M')=1, son coincidentes
-Si rng(M)=1 y rng(M')=2, son paralelas
-Si rng(M)=2=rng(M'), son secantes
-Si rng(M)=2 y rng(M')=3, se cruzan
Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio a partir de ecuaciones implícitas:
-Si rng(M)=rng(M')=2, la recta está contenida en el plano
-Si rng(M)=2 y rng(M')=3, son paralelos
-Si rng(M)=3=rng(M'), son seantes
Posiciones relativas de dos planos en el espacio
-Si rng(M)=rng(M')=1, son coincidentes
-Si rng(M)=1 y rng(M')=2, los planos son paralelos
-Si rng(M)=2=rng(M'), los planos se cortan en una recta
Posiciones relativas de tres planos
-Si rng(M)=3=rng(M'), se cortan en un punto
-Si rng(M)=2 y rng(M')=3, se cortan dos a dos
-Si rng(M)=2=rng(M'), son secantes (se cortan en una recta)
-Si rng(M)=1 y rng(M')=2, paralelos
-Si rng(M)=1=rng(M'), coincidentes