Окружность - замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от центра окружности.
Она как сама является прекрасным объектом исследования, так и в совокупности с многоугольниками.
Углы, связанные с окружностями
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Три типа взаимного расположения прямой и окружности:
Прямая пересекает окружность в двух точках. Такая прямая d называется секущей. В этом случае расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса R окружности
Прямая пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка – точкой касания. В этом случае d=R
Прямая c не имеет общих точек с окружностью
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теоремы, связанные с углами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг.
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности. И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.
Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен. Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.
Степень окружности
Опр. Если через какую-либо точку М провести к окружности несколько секущих, то произведение расстояний от точки М до обеих точек пересечения каждой секущей называют степенью точки М относительной данной окружности. А1М·МА2 = В1М·МВ2 = С1М·МС2. 
Какова степень точки М относительно данной окружности, если:
а) Если М лежит вне окружности, то ОМ > R и, следовательно, σ < 0;
б) если М принадлежит окружности, то ОМ = R и, следовательно, σ = 0;
в) если М лежит внутри окружности, то ОМ < R и, следовательно, σ > 0.
Радикальная ось окружностей
Опр. Геометрическое место точек, для каждой их которых степени относительно двух данных неконцентрических окружностей равны, называется радикальной осью.
Теор. Радикальная ось двух неконцентрических окружностей есть прямая, перпендикулярная линии центров этих окружностей.
Свойства радикальной оси
1) Если окружности пересекаются, то радикальная ось проходит через точки пересечения окружностей.
2) Если окружности касаются, то радикальная ось – это касательная, проведенная в точку касания окружностей.
3) Если окружности не имеют общих точек, то радикальная ось тоже не имеет общих точек с окружностями.
4) Если из любой точки радикальной оси двух окружностей провести к этим окружностям касательные, то они будут равны.
Радикальный центр окружностей
Теор. Если центры трех окружностей не лежат на одной прямой, то радикальные оси этих трех окружностей, взятых попарно, проходят через одну точку. Эта точка называется радикальным центром трех данных окружностей.
Пучок окружностей
Опр. Пучком окружностей будем называть совокупность окружностей, имеющих попарно одну и туже радикальную ось (радикальная ось пучка)
Свойства пучка окружностей
- Пучок окружностей может определяться заданием двух окружностей или одной окружностью и радикальной осью.
- Центры окружностей пучка лежат на одной прямой.
- Теорема. Через каждую точку, не лежащую на радикальной оси пучка, проходит одна и только одна окружность пучка.